Типовой расчет по аналитической геометрии / Вар 1-14 / Аналитическая геометрия 1-14

A = 11; 0; 12; B = 10; 2; 32; C = 12; 4; 22; D = 1 2; 6; 22:

1) Найти объем V ABCD пирамиды ABCD.

2) Найти площадь S ABC грани ABC.

3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).

4) Найти длину ребра AB.

5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).

6) Найти проекцию D 1 точки D на плоскость ABC.

Дана точка P и дана прямая L:

Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P и через прямую L.

Даны прямые L 1 и L 2 :

1) Доказать, что прямые L 1 и L 2 параллельны.

2) Найти расстояние d(L 1 ; L 2 ) между прямыми L 1 и L 2 .

Задача 4. Дана прямая L и дана плоскость Q:

L = fx + z 1 = 0; y 2 = 0g; Q = fy z = 0g:

1) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.

2) Найти угол \(L; Q) между прямой L и плоскостью Q.

Задача 5. Дана точка A и дано геометрическое место точек M:

A = 13; 5; 72; M = fP 2 j точка P является серединой

некоторого отрезка AB; конец B которого лежит в координатной плоскости Oxyg:

Найти уравнение ГМТ M.

Задача 6. Кривая задана своим уравнением в полярных координатах:

Определить тип кривой .

Задача 7. Даны точки P 1 , P 2 и дана поверхность второго порядка :

P 1 = 11; 1; 12; P 2 = 13; 1; 12;

= (x 1) 2 + (y + 1) 2 + 2z 2 = 4 :

1) Определить тип поверхности .

2) Изобразить схематически поверхность .

3) Изобразить сечения поверхности координатными плоскостями, по возможности соблюдая масштаб. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.

4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности лежат точки P 1 и P 2 .

5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью имеет прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 (прямая L).

Задача 8. Дана точка S и дана сфера :

S = 15; 0; 02; = fx 2 + y 2 + z 2 = 9g:

Найти уравнение конической поверхности 1 , вершина которой находится в точке S, а образующие касаются сферы .

Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнение плоскости.

Замечание 2. Везде, где сказано найти уравнение прямой в пространстве, надо найти каноническое уравнение прямой в пространстве.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)

(1-й курс, 1-й семестр)

(2012/2013 учебный год)

Задача 1. Даны точки A, B, C, D:

A = 13; 1; 12; B = 11; 3; 12; C = 11; 1; 32; D = 11; 2; 32:

1) Найти объем V ABCD пирамиды ABCD.

2) Найти площадь S ABC грани ABC.

3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).

4) Найти длину ребра AB.

5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).

6) Найти проекцию D 1 точки D на прямую AC (прямая L 1 ).

Задача 2. Даны точки P 1 , P 2 и дана прямая L:

= 12; 1; 52; P = 11; 2; 52; L =

Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки P 1 и P 2 и образующей угол 45 с

Задача 3. Дана точка P и дана прямая L:

P = 1 4; 3; 32; L = fx 2y + z 4 = 0; 2x + y z = 0g:

Найти уравнение прямой L 1 , проходящей через точку P параллельно прямой L.

Задача 4. Даны прямые L 1 и L 2 :

; L 2 = fx 3z + 4 = 0; y z 2 = 0g:

1) Доказать, что прямые L 1 и L 2 пересекаются.

2) Найти точку P пересечения прямых L 1 и L 2 .

3) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через прямые L 1 и L 2 .

Задача 5. Дана точка A и дано геометрическое место точек M:

A = 1 3; 5; 92; M = fP 2 j точка P является серединой

некоторого отрезка AB; конец B которого лежит в координатной плоскости Oyzg:

Найти уравнение ГМТ M.

Задача 6. Кривая задана своим уравнением в полярных координатах:

Определить тип кривой .

Задача 7. Даны точки P 1 , P 2 и дана поверхность второго порядка :

P 1 = 10; 0; 12; P 2 = 1 1; 2; 22;

= f2(z + 1) = 2x 2 + y 2 g:

1) Определить тип поверхности .

2) Изобразить схематически поверхность .

4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности лежат точки P 1 и P 2 .

5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью имеет прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 (прямая L).

Задача 8. Дана сфера :

= f(x + 2) 2 + (y 1) 2 + (z 3) 2 = 9g:

Найти уравнение конической поверхности 1 , вершина которой находится в начале координат O, а образующие касаются сферы .

Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнение плоскости.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)

(1-й курс, 1-й семестр)

(2012/2013 учебный год)

Задача 1. Даны точки A, B, C, D:

A = 1 1; 0; 42; B = 11; 2; 32; C = 11; 8; 62; D = 1 5; 3; 72:

1) Найти объем V ABCD пирамиды ABCD.

2) Найти площадь S ABC грани ABC.

3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).

4) Найти длину ребра AB.

5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).

6) Найти точку D 1 , симметричную точке D относительно плоскости ABC.

Дана точка P и даны прямые L 1 и L 2 :

Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P параллельно прямым L 1 и L 2 .

Дана точка P и даны плоскости Q 1 и Q 2 :

P = 10; 2; 12; Q 1 = fx 2y = 0g; Q 2 = fx 2y + 2z = 0g:

Найти уравнение прямой L, которая проходит через точку P параллельно плоскости Q 1

и образует угол 60 с плоскостью Q 2 .

Задача 4. Даны точки P 1 , P 2 , P 3 и дана прямая L:

P 1 = 11; 0; 02; P 2 = 11; 1; 22; P 3 = 10; 1; 52;

L = fx = 2t 1; y = t + 2; z = t + 1g:

1) Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки P 1 , P 2 , P 3 .

2) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.

3) Найти угол \(L; Q) между прямой L и плоскостью Q.

Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M:

A = 12; 3; 52; B = 12; 7; 52; M = fP 2 j AP 2 BP 2 = 13g:

Найти уравнение ГМТ M.

Задача 6. Кривая задана своим уравнением в полярных координатах:

Определить тип кривой .

Задача 7. Даны точки P 1 , P 2 и дана поверхность второго порядка :

1) Определить тип поверхности .

2) Изобразить схематически поверхность .

4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности лежат точки P 1 и P 2 .

5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью имеет прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 (прямая L).

Задача 8. Дана точка S и дан эллипсоид :

Найти уравнение конической поверхности 1 , вершина которой находится в точке S, а образующие касаются эллипсоида .

Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнение плоскости.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)

(1-й курс, 1-й семестр)

(2012/2013 учебный год)

Задача 1. Даны точки A, B, C, D:

A = 13; 2; 22; B = 12; 2; 32; C = 12; 3; 22; D = 12; 2; 22:

1) Найти объем V ABCD пирамиды ABCD.

2) Найти площадь S ABC грани ABC.

3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).

4) Найти длину ребра AB.

5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).

6) Найти точку D 1 , симметричную точке D относительно прямой AC (прямая L 1 ).

Задача 2. Даны точки P 1 , P 2 и дана плоскость Q:

P 1 = 1 1; 2; 02; P 2 = 11; 1; 22; Q = fx + 2y + 2z 4 = 0g:

Найти уравнение плоскости Q 1 , проходящей через точки P 1 и P 2 перпендикулярно плоскости Q.

Задача 3. Даны точки P 1 , P 2 и дана плоскость Q:

P 1 = 10; 0; 42; P 2 = 12; 2; 02; Q = fx + y z = 0g:

1) Найти уравнение прямой L, проходящей через точки P 1 и P 2 .

2) Найти точку P пересечения прямой L и плоскости Q.

3) Найти угол \(L; Q) между прямой L и плоскостью Q.

Задача 4. Дана точка P и даны плоскости Q 1 , Q 2 :

P = 1 4; 3; 02; Q 1 = fx 2y + z = 0g; Q 2 = f2x + y z = 0g:

Найти уравнение прямой L, проходящей через точку P параллельно плоскостям Q 1 и Q 2 .

Задача 5. Даны точки A, B и дано геометрическое место точек M:

A = 1 1; 0; 02; B = 11; 0; 02; M = fP 2 j AP 2 + BP 2 = 4g:

Найти уравнение ГМТ M.

Задача 6. Кривая задана своим уравнением в полярных координатах:

Определить тип кривой .

Задача 7. Даны точки P 1 , P 2 и дана поверхность второго порядка :

P 1 = 11; 0; 02; P 2 = 13; 1; 12;

= f9(x 1) 2 + 4y 2 36z 2 = 36g:

1) Определить тип поверхности .

2) Изобразить схематически поверхность .

4) Определить, по одну или по разные стороны от поверхности лежат точки P 1 и P 2 .

5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью имеет прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 (прямая L).

Задача 8. Дан вектор a и дана окружность :

a = 12; 3; 42; = fx 2 + y 2 = 9; z = 1g:

Найти уравнение цилиндрической поверхности , образующие которой параллельны вектору a, а направляющей служит окружность .

Замечание 1. Везде, где сказано найти уравнение плоскости, надо найти общее уравнение плоскости.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ДО)

(1-й курс, 1-й семестр)

(2012/2013 учебный год)

Задача 1. Даны точки A, B, C, D:

A = 11; 2; 32; B = 15; 1; 22; C = 12; 2; 22; D = 12; 2; 82:

1) Найти объем V ABCD пирамиды ABCD.

2) Найти площадь S ABC грани ABC.

3) Найти уравнение прямой AB (прямая L).

4) Найти длину ребра AB.

5) Найти уравнение плоскости ABC (плоскость Q).

6) Найти уравнение прямой L 2 , симметричной прямой AD (прямая L 1 ) относительно плоскости ABC.

Задача 2. Дана точка P и даны плоскости Q 1 , Q 2 :

P = 1 1; 1; 22; Q 1 = fx 2y + z 4 = 0g; Q 2 = fx + 2y 2z + 4 = 0g:

Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точку P перпендикулярно плоскостям

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎