Урок по геометрии на тему "Решение задач на применение признаков подобия треугольников" (7 класс)

Тема: Решение задач на применение признаков подобия треугольников.

Цель: формирование у учащихся навыков применения признаков подобия при решении задач; совершенствовать навыки доказательства теорем.

Образовательные: повторить признаки подобия треугольников, отрабатывать навыки применения их при решении задач.

Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитывающие: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Оборудование: проектор, доска, мел.

Организационный момент

- Здравствуйте! Будем знакомы, меня зовут Анастасия Владимировна. Рада вас всех видеть на уроке геометрии. Проверьте готовность к уроку.

2. Определение темы и цели урока

- Вспомним, какие новые понятия, утверждения, теоремы вы изучали на последних предыдущих уроках? (подобные треугольники, пропорциональные отрезки, коэффициент подобия, отношение площадей, признаки подобия треугольников)

- То есть вы уже готовы прямо сейчас решать контрольную работу по данной теме? (нет)

- Почему? (не до конца усвоена тема, мало решали задач на применения признаков подобия и т.д.)

- На ваших столах листочки. Дерево условно назовем темой «Подобные треугольники», отметьте на нем себя, где вы сейчас находитесь, на каком уровне освоили данную тему. (1 слайд)

- Значит, какую цель поставите перед собой на уроке? (тренировка, решать задачи, применение признаков подобия при решении задач и т.д.)

- Отлично, то есть сегодня на уроке мы будем применять признаки подобия при решении задач.

3. Актуализация знаний

3.1 Теоретический опрос

- Для решения задач нам понадобятся знание некоторых определений, изученных ранее. Вспомните их: (2 слайд)

- Какие треугольники называются подобными? (Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого).

- Определите сходственные стороны подобных треугольников, назовите их (3 слайд)

- Что такое коэффициент подобия? (число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия).

- Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников? (Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия).

- Цель нашего урока предполагает решения задач на применение признаков подобия, нам необходимо знать эти признаки.

- Сколько признаков подобия существует? Вспомним и назовем все три признака (ответы детей).

- Это те теоретические знания, которые нам сегодня пригодятся при решении задач.

- Откройте тетради, запишите число, тему урока: Решение задач на применение признаков подобия треугольников. (4 слайд)

3.2 Решение задач на готовых чертежах

- Задание: решение задач по готовым чертежам. Чертежи представлены на слайде, пронумерованы, каждому чертежу соответствует задание. В тетради вы записываете только краткие ответы таким образом: 1) назвать подобные треугольники; 2) указать признак подобия; 3) найти неизвестные элементы.

- На решение каждой задачи отводится 2 минуты. Обращаю ваше внимание, на установление правильного соответствия между сторонами подобных треугольников. Приступаем к решению.

Задания к чертежам Ответы:

После истечения времени проводится взаимопроверка. (5 слайд)

- Поменяйтесь тетрадями с соседом, проверяем правильность решения задач по соответствующему ключу. Ставим напротив задач «плюс» - за правильный ответ, «минус» - за неверное решение.

- Кто не допустил ни одной ошибки? Кто ошибся в 1й, 2й и т.д. задачах? Что вызвало затруднение?

4. Решение задач

- Приступаем к решению более сложных задач.

Задача 1. Дан четырехугольник, по рисунку необходимо сформулировать задачу. Найти: BAD .

- Сформулируйте задачу. (6 слайд)

- Назовите, что дано. Что требуется найти.

- Начертите рисунок в тетрадь и запишите, что дано, что требуется найти.

Дано: ABCD – четырехугольник,

АС – диагональ,

ВС = 10, С D = 15, AD = 21, AC = 14, АВ = ,

В = 80º, D = 55º.

Найти: BAD .

- Прочитайте, что у вас получилось.

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти? BAD

- Что достаточно знать, чтобы

найти этот угол? ВАС СА D

- Откуда мы найдем эти углы? ∆ АВС ∆ ACD

- Если в треугольнике мы знаем один угол, что поможет нам найти другие углы? Для чего даны стороны? (устанавливаем отношение между сторонами, покажем, что треугольники подобны)

- Чему равен коэффициент подобия?

- Что из этого следует? ∆ АВС подобен ∆ ACD

- По какому признаку? (по 3 признаку)

- Что следует из подобия? равенство углов

- Какие углы сможем найти? ВАС СА D

- А зная их, найдем… BAD

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ АВС и ∆ ACD ;

- доказательство подобия, через соотношение сторон;

- устанавливаем равенство соответствующих углов в подобных треугольниках;

- по свойству суммы углов треугольника находим углы ВАС и СА D ;

- находим угол BAD .

- Женя выходи к доске, оформляй решение этой задачи. Остальные у себя в тетрадях.

2. => ∆ АВС подобен ∆ ACD (по 3 признаку);

3. ∆ АВС подобен ∆ ACD => BAC = CAD ; BCA = CDA ; ABC = ACD (по определению подобных треугольников); BCA = CDA =55º; ABC = ACD =80º;

4. из ∆ АВС: ABC =80º, BCA =55º => BAC =45º; аналогично, из ∆ ACD : ACD =80º, CDA =55º => CAD =45º (по свойству суммы углов треугольника);

5. BAD = ВАС+ СА D =45º + 45º=90º.

Ответ: BAD =90º.

Задача 2. В параллелограмме ABCD AE – биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как . АЕ пересекает диагональ BD в точке К . Найти отношение . (7 слайд)

- Прочитайте задачу. Что дано в задаче?

- Что нужно найти?

- Давайте сделаем чертеж к задаче (один человек у доски работает Миша).

- Что такое биссектриса угла?

- Обозначим равные углы. Напишем дано, что надо найти.

Дано: ABCD – параллелограмм,

AE – биссектриса,

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти?

- Откуда найдем отношение сторон? ∆ ВКЕ и ∆ D КА

- Что будем делать с треугольниками? доказывать подобие

- Что для этого достаточно доказать? B КЕ= D КА – как

вертикальные

ВЕА= ЕА D ( EBD = BDA )

(как накрест лежащие при прямых ВС и А D и секущей АЕ(В D ))

- По какому признаку установили подобие? (по 1 признаку)

- Что следует из подобия? (пропорциональность сходственных

- Как связать сторону АВ с нашими подобными треугольниками?

рассмотреть ∆АВЕ

- Каким является этот треугольник? равнобедренным

(углы при основании равны, АВ=ВЕ)

- Что следует из этого равенства? , (т.к. ВС=А D )

- Что можно найти из равенства ? (коэффициент подобия k = )

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ ВКЕ и ∆ D КА;

- доказательство подобия, через равные углы при параллельных прямых и секущей;

- устанавливаем соотношение сходственных сторон в подобных треугольниках;

- рассматриваем равнобедренный ∆АВЕ, устанавливаем равенство сторон;

- находим коэффициент подобия;

- выявляем отношение .

- Миша оформляет решение у доски, на обороте, остальные самостоятельно, потом сверяем.

1. B КЕ= D КА – как вертикальные; ВЕА= ЕА D ( EBD = BDA ) ( как накрест лежащие при прямых ВС и А D и секущей АЕ(В D ))=> ∆ ВКЕ и ∆ D КА подобные (по 1 признаку);

2. ∆ ВКЕ и ∆ D КА подобные => ;

3. расм-м ∆АВЕ: ВЕА= ЕА D , ВАЕ= D АЕ (т.к. АЕ – биссектриса) => ∆АВЕ – равнобедренный;

4. ∆ АВЕ – равнобедренный, АВ=ВЕ => устанавливаем ;

5. ВС=А D (противоположные стороны в параллелограмме) => ;

6. => коэффициент подобия k = ;

7. , т.е . .

- Попробуйте сформулировать свойство биссектрисы угла параллелограмма. Что она сделала с параллелограммом?

Свойство биссектрисы параллелограмма: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

- Запишите себе это свойство, вы им можете пользоваться и при решении других задач.

Задача 3. Дан треугольник АВС . Прямая MN параллельна стороне АВ, . Отрезок MN равен 20см. Найдите длину отрезка АС. (8 слайд)

- Прочитайте задачу. Сформулируйте, что дано, что нужно найти.

Дано: ∆ АВС, M N || AC , ,

Поиск решения задачи:

- Что нам надо найти? АС

- Что для этого достаточно рассмотреть? ∆ АВС ∆ MBN

- Какими являются эти треугольники? (подобные)

- Что для этого достаточно доказать? BMN = ВАС ( BNM = BCA )

(как накрест лежащие при прямых MN и АС и секущей АВ(СВ))

- По какому признаку установили подобие? (по 1 признаку)

- Что следует из подобия? (пропорциональность сходственных

- Что мы найдем из соотношения ? (коэффициент пропорц-ти)

- По какой теореме? (отношение площадей двух подобных треугольнико, равно квадрату коэффициента подобия)

- Коэффициент подобия равен… k =

- Что мы можем найти, зная коэффициент подобия?

MN – известно.

- План решения понятен? Повторите.

План решения задачи:

- устанавливаем подобие треугольников ∆ АВС и ∆ MBN ;

- доказательство подобия, через равные углы при параллельных прямых и секущей;

- устанавливаем соотношение сходственных сторон в подобных треугольниках;

- зная отношение площадей подобных треугольников, находим коэффициент подобия;

- находим длину стороны АВ, зная коэффициент подобия и длину стороны MN .

- Ход решения понятен? Эту задачку мы записывать в тетрадь не будем.

4 Задача (дополнительно)

Краткое решение

5. Подведение итогов урока (рефлексия)

- Что нового для себя открыли на уроке?

- Какие трудности испытывали при решении задач?

- На что еще стоит обратить внимание на следующем уроке, для закрепления ваших знаний по данной теме?

- Определите свое место на дереве в конце урока. Поднимите руку, кто поднялся выше, кто отпустился, кто остался на месте?