Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изучены свойства неголономного распределения, определяемого с помощью дифференциальной формы ω = Aodx0 + A1dx1 + A2idx2 + A3dx3 + dx4 на пятимерном гладком лоренцевом многообразии. С помощью принципа максимума Понтрягина доказано, что уравнения горизонтальных геодезических для этого распределения совпадают с уравнениями движения заряженной частицы общей теории относительности. Таким образом, построена модель теории Калуцы-Клейна методами сублоренцевой геометрии. Мы рассматриваем геодезическую сферу, которая появляется в постоянном магнитном поле, и ее особые точки

Текст научной работы на тему «Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей»

В. Р. Крым, Н. Н. Петров

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ПЯТИМЕРНОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ С НЕГОЛОНОМНЫМ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ СКОРОСТЕЙ*

В настоящей статье рассматривается задача оптимизации функционала длины на пятимерном многообразии с четырехмерным распределением А. При некоторых предположениях доказано, что решение вариационной задачи для этого распределения удовлетворяет уравнениям движения заряженной частицы общей теории относительности. Построена четырехмерная проекция геодезической сферы, полностью определяющая ее структуру при движении частицы в постоянном магнитном поле.

1. Сублоренцева геометрия

Распределением на гладком многообразии М называется семейство подпространств А(х) С ТХМ одной и той же размерности, гладко параметризованное точками многообразия [1]. Для каждого х € М на А(х) определена квадратичная форма (и, п)Х с метрическим тензором дц (х). Метрический тензор распределения гладко зависит от точки. Абсолютно непрерывный путь х(Ь) называется горизонтальным, если х'(Ь) € А(х(£)) при почти всех Ь. В субримановой геометрии метрический тензор дц (х) распределения положительно определен. В этой геометрии изучают кратчайшие горизонтальные кривые, соединяющие две заданные точки. Если распределение вполне неголономное, а ри-маново многообразие полное, то любые две точки многообразия можно соединить кратчайшей горизонтальной геодезической. На многообразиях, а также на распределениях с метрическим тензором, геодезическая — это решение уравнений Эйлера—Лагранжа для функционала длины J(х(-),и(-)) = (и(£), и(£))Х/2) &.

В сублоренцевой геометрии метрический тензор распределения имеет сигнатуру (+, -. —). В этой геометрии следует изучать длиннейшие горизонтальные кривые, соединяющие две заданные точки [2]. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном и гравитационном полях могут быть получены в процессе решения вариационной задачи для распределения [3]. Рассмотрим пятимерное многообразие М5 и четырехмерное распределение А, заданное дифференциальной формой

ш(х) = £ М х)<1х1 + йхА, где ковектор (А*)*=о1. з —4-потенциал электромагнитного

поля. Рассмотрим функционал длины

где Ь(х,и) = т(и, м)Х/2 —псевдонорма вектора и, т — масса частицы. Рассмотрим задачу максимизации этого функционала на множестве горизонтальных кривых, соединяющих две заданные точки. Решение этой задачи, как доказано в настоящей статье, приводит к уравнениям

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации по поддержке ведущих научных школ НШ-4609.2006.1.

O^+Pi^FikU3 =0, k = 0,

где определяются из (4). Эти уравнения совпадают с уравнениями движения частицы с зарядом р4 в электромагнитном и гравитационном полях общей теории относительности. Такая постановка задачи отличается от принятой в физике [4] задачи минимизации функционала действия на четырехмерном многообразии:

где е — заряд частицы, с — скорость света. Настоящая работа посвящена решению задачи объединения электромагнитных и гравитационных взаимодействий [5, 6].

В предлагаемой модели частицы рассматриваются на пятимерном многообразии М5 со специальной гладкой структурой. Допускаются только такие гладкие преобразования координат, что

Компоненты тгт, * = 0. .,3, могут быть интерпретированы как калибровочное пре-

образование. Так как преобразования координат гладкие, т^тт^т =

д ду1 _ д ду1 _

i,j = 0, . . 4. Поэтому условие цилиндричности = 0 для любого тензорного ПОЛЯ V инвариантно. В касательном расслоении TM инвариантно подпространство Lin . В кокасательном расслоении T*М инвариантно подпространство Lin . Предположим, что метрический тензор и 4-потенциал электромагнитного поля не зависят от x4. Это условие инвариантно относительно преобразований координат со свойством (3). Четырехмерное распределение A — это пространство скоростей, т. е. множество всевозможных векторов скорости частицы. Метрический тензор распределения A определяет четырехмерный выпуклый эллиптическый конус, как в общей теории относительности. Отношение причинности в такой теории аналогично отношению причинности в общей теории относительности [7, 8]. В присутствии электромагнитного поля рассматриваемое распределение неголономно.

Электромагнитное поле определяется в физике антисимметричным тензором )j,k=0. 3:

В наших обозначениях трехмерный вектор Е — напряженность электрического поля, трехмерный вектор Н — напряженность магнитного поля. Существует 4-потенциал (Аі)і=о. із, определяющий тензор электромагнитного поля:

4-Потенциал определяется неоднозначно. Он определен с точностью до калибровочного

преобразования Аі і—> Аі + -тгг, гДе / — произвольная гладкая функция.

Пусть и — некоторая координатная область на гладком многообразии М5. Четырехмерное распределение А на и можно определить с помощью дифференциальной формы

их Лі(х)йхі + йх4. (6)

Это определение корректно, так как при преобразовании координат со свойством (3) ^Аісіх1 + (їх4 = ^2 (+ ^7 ) ЛУЭ + ЛУ4 = ^2^з(1У3 + (1УА- (7)

і=0 5 = 0 V і=о У У ) з=0

Преобразования координат на пятимерном многообразии приводят к преобразованиям _______________ 3 г\ і о 4

4-потенциала Ал = Аі ^-г + Цффт, включающим четырехмерные преобразования ко-

ординат общей теории относительности и калибровочные преобразования 4-потенциала электромагнитного поля [3, 7]. Локально распределение А может быть задано с по-

мощью базиса из векторных полей е* = — Аі-^-%, і = 0, . 3. Векторные поля

на многообразии можно рассматривать как операторы типа дифференцирования. При преобразовании координат со свойством (3)

т, І = 0, . 3. Базис четырехмерного распределения А преоб-Ву3 Ву4

разуется так же, как в общей теории относительности преобразуются координатные

векторные поля (тг

г ) (см- (3))- Коммутаторы векторных полей е*, * = 0. .,3,

порождают тензор электромагнитного поля: \еі,еф\ = —Если ф 0, то распределение А вполне неголономно. Допустимые кривые на распределении абсолютно непрерывны и почти всюду удовлетворяют условию горизонтальности

2. Уравнения движения заряженной частицы в сублоренцевой геометрии

Задача максимизации или минимизации функционала длины на множестве горизонтальных кривых, соединяющих две заданные точки, является одной из основных задач теории оптимального управления [9, 10]. Вектор скорости х'(£) горизонтальных кривых принадлежит распределению А, поэтому мы рассматриваем метрический тензор распределения А. Если векторные поля е*(х), г = 0. 3 — базис распределения А(х), то его метрический тензор дц (х) = (е^(х), ец (х))х, г, 2 = 0, . . 3. Рассмотрим функционал длины

Ь(х, и) = т | ^ діз (х) и1 и3 | (11)

и т — масса частицы. Так как метрический тензор имеет сигнатуру (+, —, —, —), то век-йх

тор скорости — принимает значения на конусе будущего У(ж) =

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Крым В. Р., Петров Н. Н.