Урок математики 7 класс по теме «Тождества»

образовательные – ввести понятие «тождество»; обеспечить в ходе урока усвоение данного понятия и закрепить специальные умения преобразования выражений способами внесения общего множителя и сокращения дроби, группировки, использования формул сокращенного умножения, правила раскрытия скобок и действий с числами;

воспитательные – содействовать воспитанию нравственных качеств школьников: коллективизма, активной жизненной позиции, этических норм;

развивающие – развивать: мышление, познавательный интерес;продолжить формирование обще учебных умений и навыков: осуществление самоконтроля и самооценки своей деятельности;

Изучение нового материала

Из истории тождеств…

Самостоятельная работа (с самопроверкой), компьютерный тест

Здравствуйте, ребята! Начнем наш урок с эпиграфа: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». (Слайд 1) Думаю, что сегодня мы будем активными участниками всего того, что будет происходит на уроке, и такими же дружными, вдумчивыми и настойчивыми.

Желаю нам с вами успеха!

Записываем число, классная работа и тему сегодняшнего нашего урока «Тождества» (Слайд 2) и прежде, чем мы начнем знакомиться с этим понятием, предлагаю вспомнить материал предыдущих уроков…

Актуализация знаний (Слайд 3)

Устная работа

(12 x + 7 y ) + (3y – 2x)=

Разложите на множители:

Изучение нового материала

Перед вами выражение (х + 1)(х + 4) = х 2 + 5х + 4 и задание: докажите, что равенство верно при любых значениях х

С чего бы вы начали выполнение этого задания? (раскрыли скобки в левой части)

(х + 1)(х + 4) = х 2 + 4х + х + 4= х 2 + 5х + 4

Какие преобразования были выполнены? (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых)

Что получили в результате? (выражение, равное выражению в правой части)

Так как выражения в обеих частях равны, то какое бы значение х мы не взяли, при подстановке получили бы равные результаты.

Поэтому в математике равенство, верное при любых значениях переменной называют ТОЖДЕСТВОМ, а алгебраические преобразования выражений, которые использовали при доказательстве ТОЖДЕСТВЕННЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ.

И из этого следует, что формулировка условия может быть следующей : «Докажите, что равенство (х + 1)(х + 4) = х 2 + 5х + 4 является тождеством»

Теперь проведите самостоятельное доказательство тождества

2а 3 х(с - у) + 1 = 2а 3 хс - 2а 3 ух + 1, но преобразовав выражение, стоящее справа, к выражению, стоящему слева.

Каким свойством вы воспользовались? ( сочетательным и распределительным. или вынесение общего множителя за скобки )

Итак, в первом тождестве мы преобразовали левую часть и получили правую, а во втором наоборот из правой левую.

Теперь, я вам предлагаю обсудить доказательство вот таких тождеств:

3(а + 1) 2 + 2 = а 2 + (а + 1) 2 + (а + 2) 2 (с - 8)(с + 3) – (с 2 – 5с – 24) = 0

Какие тождественные преобразо - Как будем работать с этим тождеством?

вания можно выполнить здесь? ( раскроем скобки в левой части, приведем

( сначала левую часть упростить, подобные слагаемые и в результате

а потом правую или раскрыть должны получить 0)

скобки и перенести все влево,

упростить и получить 0 )

К доске пойдут________________и ________________, попробуют доказать эти тождества. Остальные работают вместе с _______________и доказывают первое тождество, обсуждая и исправляя ошибки.

Вывод: следует обратить внимание на тот факт, что одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение. Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это - уравнение. А если требуется доказать, что равенство имеет место при любых значениях переменных - тождество.

Физ. Минутка

Физ. минутка у нас необычная, мы не будем прыгать и потягиваться, а просто закройте глаза и … представьте, что ваш нос стал длинным….попробуйте написать им свое имя

Отвлеклись немножко? …продолжим…нам _________________подготовила выступление из истории тождеств, давайте послушаем…

Уже в древности формулировались и доказывались тождества в терминах отрезков и прямоугольников.

О тождестве ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 в «Началах» Евклида было написано так « Если отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам, на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ »

Пусть отрезок АВ разделен точкой С на два отрезка. «Построим на отрезке АВ квадрат АВЕ D с диагональю В D . Проведем через точку С прямую СТ, параллельную А D , и через точку N прямую МР, параллельную АВ. Ясно, что АМ = CN = BP = CB = NP = TE . Аналогично AC = MN = DT = MD = NT = PE . Прямоугольник ACNM равновелик прямоугольнику NPET . Следовательно, квадрат на АВ равен квадрату на АС ( MNTD ), сложенному с квадратом на СВ и удвоенным прямоугольником на АС и СВ, что и требовалось доказать»

Тождество ( a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2 у Евклида не доказывается. Доказательство впервые появилось у комментатора Евклида А. Мархетиса в 1709 г.

А тождество a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) доказал китайский математик Чжао-Цзюнь-цин в III в. н. э.

Ну а теперь попробуем практически применить доказательство тождеств

Закрепление материала

Двое учащихся у доски

Докажите тождество: Преобразуйте выражение в тождественно равное:

а ) (a + b) 2 + (a - b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) б )

Рассмотрим выполнение второго выражения:….мы говорили о том, что равенство является тождеством, если оно выполняется при любых значениях переменной, а здесь? (т.к. выражение представлено в виде дроби, значит знаменатель не должен равняться нулю) Когда знаменатель будет нуль? (при х = ±3). Значит равенство выполняется при любых значениях х, кроме ±3.

Попробуем поверить себя…..с.р.

Самостоятельная работа

Двое учащихся работают с ноутбуками;

Пять человек (слабоуспевающих) работают с карточками – подсказками;

Карточка – подсказка:

а 2 + 7а + 10 = (а + 2) · (а + 5)

а · (а – в) + 2ав = а · (а + в)

сравни левую и правую часть равенства

m · ( h – k ) = - m · ( k – h )

m · ( h – k ) = - m · ( k – h ) сравни результат

Остальные сам. раб.

Укажите выражение, которое НЕ является тождеством:

а) 14 a – b = b – 14 a ; а) х + 5у = 5у + х;

б ) 4ab + 4ac = 4a(b + c); б ) 3bk – 3b = 3b(k - 1);

в) а 2 – 9 = (а - 3)(3 + а); в) ( n + k )( k – n )= k 2 – n 2 ;

Является ли выражение тождеством?

Самопроверка(оценивание себя)

Рефлексия (итог урока)

В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

(х + у)(у - х) = х 2 – у 2 ;

(2 - х) 2 = 4 – 4х + х 2 ;

(х + у) 2 = х 2 + у 2 ;

(а – 2р) 2 = а 2 + 2ар + 4р 2 ;

сегодня я узнал…

было трудно…

У вас на столах лежат карточки оценивания собственной деятельности:

Красный – не удалось разобраться в теме,

Желтый – кое-что не понятно, остались вопросы;

Зеленый – все получилось, все понятно

О тождествах можно говорить бесконечно долго, но никогда нельзя сказать всего, поэтому свои знания о тождествах мы будем пополнять постепенно…

Домашнее задание: №36.8(а,б); №36.9(а,б)

Дополнительное задание* (-1 ) n · (-1 ) n · (-1 ) n · (-1 ) n = 1

"Выдержка из материала:

«Вид урока по форме проведения: комбинированный, с использованием компьютерной презентации и тестов

Цели и задачи: образовательные – ввести понятие «тождество»;обеспечить в ходе урока усвоение данного понятия и закрепить специальные умения преобразования выражений способами внесения общего множителя и сокращения дроби, группировки, использования формул сокращенного умножения, правила раскрытия скобок и действий с числами; воспитательные – содействовать воспитанию нравственных качеств школьников: коллективизма, активной жизненной позиции, этических норм; развивающие – развивать: мышление, познавательный интерес;продолжить формирование обще учебных умений и навыков: осуществление самоконтроля и самооценки своей деятельности;

План урока: Орг. момент Актуализация знаний Изучение нового материала Физ. минутка Из истории тождеств… Закрепление материала Самостоятельная работа (с самопроверкой), компьютерный тест Рефлексия Домашнее задание

Ход урока: Орг. моментЗдравствуйте, ребята! Начнем наш урок с эпиграфа: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». (Слайд 1)Думаю, что сегодня мы будем активными участниками всего того, что будет происходит на уроке, и такими же дружными, вдумчивыми и настойчивыми. Желаю нам с вами успеха!Записываем число, классная работа и тему сегодняшнего нашего урока «Тождества»(Слайд 2) и прежде, чем мы начнем знакомиться с этим понятием, предлагаю вспомнить материал предыдущих уроков… Актуализация знаний (Слайд 3)

Устная работа Выполните действия: (12x + 7y) + (3y – 2x)= (2a – 3b) – (a – 2b)= 2(с + d) - (c - d)= Разложите на множители: 6m + 2n= 3(a - b) + c(a - b)= 9d2 – 16k2 = 9a2 – 6ab + b2 =

Сократите дробь: (18x^2 y^4)/(6xy^3 )= (28(a^2-b^2))/(7(a-b))= Изучение нового материалаПеред вами выражение (х + 1)(х + 4) = х2 + 5х + 4 и задание: докажите, что равенство верно при любых значениях хС чего бы вы начали выполнение этого задания? (раскрыли скобки в левой части)(х + 1)(х + 4) = х2 + 4х + х + 4= х2 + 5х + 4