Тема 9. Вычисления и преобразования

Сложение и вычитание дробей. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений. Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями , необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю.

Умножение дробей. Чтобы умножить две дроби , надо перемножить их числители, перемножить их знаменатели и разделить первое произведение на второе.

Деление дробей. Чтобы разделить дробь на дробь , надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Возведение дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень , надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и разделить степень числителя на степень знаменателя.

Формулы сокращенного умножения:

Степень. Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число n. Число называется степенью , число а — основанием степени, число n — показателем степени.

Напомним, что по определению полагают:

Cтепень с дробным показателем. Если a — положительное число, m — целое число, а n — натуральное число и то

В частности, например,

Свойства степени. Если a и b — положительные числа, x и y — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

Арифметический корень. Пусть n — натуральное число, отличное от единицы, а — неотрицательное число. Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Для арифметического корня n-й степени из неотрицательного числа а используется обозначение Если n=2, пишут По определению

Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула в частности,

Свойства арифметического корня. Если a и b — неотрицательные числа, n и k — натуральные числа, отличные от единицы, m — целое число, то имеют место следующие соотношения:

Степень с дробным показателем. Если a — положительное число, m — целое число, а n — натуральноечисло и то

Определение логарифма. Логарифмом положительного числа b по основанию а ( называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Для логарифма положительного числа b по основанию а ( используется обозначение По определению

это равенство называется основным логарифмическим тождеством .

Логарифм положительного числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается

Логарифм положительного числа b по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается

Свойства логарифмов. Если — любое действительное число, то справедливы следующие свойства:

Основные тригонометрические формулы:

Правило для запоминания формул приведения. Чтобы записать формулу приведения для аргументов необходимо:

1) определить четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, предполагая острым углом;

2) определить знак приводимой функции в этой четверти;

3) определить вид функции, не меняя ее названия для аргументов и изменяя функцию на сходственную для аргументов

Свойства четности и нечетности функций:

Табличные значения тригонометрических функций:

Особенности экзаменационных заданий

Задания на действия с числовыми и алгебраическими дробями вполне привычны из курса математики 5—6 классов и алгебры 7 класса. Напомним только, что при выполнении действий с числовыми дробями разных типов, а также при извлечении корня обычно бывает удобно переводить десятичные дроби в обыкновенные, а смешанные — в неправильные.

При решении многих задач ЕГЭ необходимо установить связь между различными основаниями степени, поэтому будет полезно знать некоторые степени чисел в пределах 1000:

Большая часть экзаменационных заданий на преобразования логарифмических выражений представляет собой задачи на вычисление логарифмов; задания на преобразования буквенных логарифмических выражений представлены всего тремя прототипами. При подготовке следует обратить особое внимание на формулу перехода к новому основанию логарифма и следствия из нее: задачи на использование этих формул в школьных учебниках практически не встречаются.

Большая часть заданий по тригонометрии представляет собой задачи на вычисление значений числовых тригонометрических выражений с применением формул двойных углов и формул приведения. При этом наиболее часто используются следующие следствия из формул приведения: если то а если то синусы углов и равны, а их косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны.