Электромагнитная индукция (примеры решения задач) Проводник движется в постоянном магнитном поле. Рис.1

1 Пример 1 Электромагнитная индукция (примеры решения задач) Проводник движется в постоянном магнитном поле В однородном магнитном поле с индукцией B расположен П-образный проводник, плоскость которого перпендикулярна вектору магнитной индукции По проводнику со скоростью перемещают поступательно, как показано на рис1, жесткую проводящую перемычку В каких случаях ЭДС индукции в замкнутом контуре равна ε i = B? Решение А) Рис1 I способ Выбрав нормаль к плоскости контура в направлении вектора B, найдем изменение магнитного потока, которое для всех случаев равно d Φ = ( B, ds) = ( B, nds) = BdS При движении проводника площадь рамки увеличивается, магнитный поток сквозь рамку возрастает, а значит согласно закону Фарадея, в рамке должна при этом действовать ЭДС индукции dt А) ε i = dt dt Рис Поскольку проводник движется поступательно, за время dt он переместится на величину dt во всех трех случаях (рис) Изменение площади контура, которое равно площади заметаемой перемычкой, в случае А) равно площади выделенного прямоугольника на риса) ds = dt Это же изменение площади будет и в случае Б) рис Б), так как площадь параллелограмма равна произведению его основания dt на его высоту В случае В) перемычка имеет произвольную форму Разобьем перемычку на малые прямолинейные элементы Площадь, заметаемая каждым элементом при движении перемычки, определяется аналогично случаю Б) dsi = idt Б) Б) dt i В) В) 1

2 Полная площадь, заметаемая всеми элементами, равна сумме площадей, заметаемых каждым элементом перемычки ds = dsi = ( i ) dt = dt i Полученный результат совпадает с результатами для случаев А) и Б) Таким образом, для всех трех случаев ЭДС индукции в замкнутом контуре будет равна ε i = B Знак минус в полученной формуле означает, что направление ЭДС индукции противоположно положительному направлению обхода контура II способ В каждой точке проводника, движущегося в поле магнитной индукции B, действует сила Лоренца F Л = q[, B], которая порождает поле сторонних (то есть не электростатических, а магнитных) сил напряженностью F cт Л E = = [, B] q Электродвижущая сила этого поля в движущейся перемычке контура, по определению, равна (см рис3) s s = E ст d ) = (, B d ) = (, B ε i i [ ] [ ] ) ( Интегрирование поводится по всем элементам контура от начала 1 до конца и = d 1 1 Вводя систему координат, как показано на рисунке, получим, B = e, Be = Be, поэтому [ ] [ y z ] x ε i = B ( ex, 1) = B1, x То есть ЭДС индукции не зависит от конфигурации проводника, а определяется проекцией замыкающего его концы вектора на направление оси X (см рис3) X 1 d Z 1 Y Рис3 Для всех трех случаев ЭДС индукции в замкнутом контуре будет равна

3 ε B, что совпадает с результатом, полученным ранее при решении данной задачи i = Пример На горизонтальном столе в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B лежат, пересекаясь, две металлические линейки По линейкам перемещают тонкий стержень с постоянной скоростью, перпендикулярной стержню (рис4) Длина стержня L, сопротивление между концами стержня, сопротивление линеек и контактных областей пренебрежимо мало Найдите протекающий по стержню ток Рис4 Решение Введем нормаль к поверхности, натянутой на контур, по направлению поля B (см рис5) Тогда магнитный поток сквозь эту поверхность будет равен Φ = B S(t) За время dt стержень переместится на величину dt, изменение площади при этом составит ds = ( t) dt Следовательно, по закону электромагнитной индукции, в контуре будет действовать ЭДС, величина которой равна: BdS ε i = = = B (t) dt dt А направление возникающего индукционного тока соответствует направлению положительного обхода контура, показанного на рис5 (t) L n Величина индукционного тока равна где ( t) = ( t) L I L Рис5 ε i BL = = ( t), 3

4 Пример 3 В постоянном однородном магнитном поле с индукцией B закреплен прямоугольный проводящий контур, плоскость которого перпендикулярна вектору магнитной индукции По контуру поступательно перемещают со скоростью проводящую перемычку длины (см рис6) Сопротивления 1 и известны и значительно превышают сопротивление проводов и перемычки Определите токи I 1 и I в контуре I 1 I 1 Рис6 Решение В рассматриваемой системе можно выделить два контура: контур 1 с током I 1 и контур с током I Выберем единую нормаль к плоскостям контуров в направлении вектора B При движении перемычки вправо за время dt перемычка переместится на величину dt И насколько магнитный поток через контур 1 увеличится, настолько поток через контур уменьшится d Φ = Bdt Следовательно, по закону электромагнитной индукции в контурах 1 и, будет действовать ЭДС, величина которой равна: ε i = = B, dt а направление соответствует направлению положительного обхода контура и противоположно направлению положительного обхода контура 1 На рис7 показана эквивалентная схема, в которой ЭДС индукции представлена как ЭДС источника с нулевым внутренним сопротивлением I 1 I ε i 1 n n Рис7 Тогда по закону Ома токи I 1 и I в контурах ε 1и равны B ε i i B I1 = = и I = = 1 1 Пример 4 Длинный прямой провод с током I и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (см рис8) Перемычку, длина которой, перемещают вправо с постоянной скоростью Найдите ЭДС индукции в контуре как функцию расстояния 4

5 I Рис8 Решение Введем горизонтальную ось, направление которой совпадает с направлением движения перемычки (рис9) B n I i Рис9 Перемычка движется в неоднородном магнитном поле, величина которого зависит от расстояния до проводника: μi B = π Выберем направление нормали к плоскости контура в направлении вектора B (см рис9) Тогда магнитный поток d Φ через заметаемую поверхность при смещении перемычки на d равен μi = ( B, ds) = d, π где d - площадь заметаемой поверхности По закону электромагнитной индукции, в контуре будет действовать ЭДС, величина которой равна: μi d μi ε i = = =, dt π dt π где = d / dt - скорость перемещения перемычки Перемычка движется вправо, и поток через поверхность контура увеличивается Поэтому направление ЭДС индукции, а значит и индукционного тока противоположно положительному направлению обхода контура Причиной ЭДС в рассматриваемом случае является сила Лоренца, которая действует на движущиеся вместе с перемычкой носители заряда Пример 5 d На расстояниях и от длинного прямого провода, по которому течет постоянный ток I, расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце резистором сопротивления (рис1) По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью стержень-перемычку Пренебрегая сопротивлением провода и стержня, а также магнитным полем индукционного тока, найдите: А) индукционный ток в стержне; Б) силу, необходимую для поддержания постоянной скорости 5

6 Решение Проводник-перемычка движется в неоднородном магнитном поле, создаваемом длинным прямым проводом μi B( ) =, π где расстояния от проводника с током Выберем направление нормали к плоскости контура в направлении вектора B, которое показано на рис1 с указанием направления положительного обхода контура I i n I B Рис1 При движении перемычки вправо за время dt перемычка переместится на величину dt Тогда приращение магнитного потока через заметаемую поверхность равно μi = ( B, ds) = π dt d μi = ( n ) dt π По закону электромагнитной индукции, в контуре будет действовать ЭДС, обуславливающая ток через резистор : ε i 1 μi Ii = = = n dt π Знак минус показывает, что направление индукционного тока противоположно направлению положительного обхода контура (рис1) На перемычку, по которой течет индукционный ток, со стороны магнитного поля будет действовать сила Ампера F А, которая согласно правилу Ленца тормозит ее движение Движение перемычки будет равномерным, если к ней будет приложена внешняя сила F, удовлетворяющая условию + F = F А Cила Ампера, действующая на элемент индукционного тока в магнитном поле, определяется выражением dfa = Ii [ d, B] Так как d B, то силы Ампера, действующие на каждый элемент перемычки, сонаправлены, и результирующая сила, действующая на перемычку, равна F = μi μi μi FA = IiBd = Ii d = n π π π d μi = π n 6

7 Пример 6 Одна половина проволочной прямоугольной рамки площадью S развернута относительно другой на угол α (рис11) Найдите амплитуду ЭДС в такой рамке при ее вращении с угловой скоростью ω вокруг оси СО в однородном магнитном поле B, направленном перпендикулярно оси вращения Рассмотрите также специальные случаи: а) α =, б) α = 9, в) α = 18 n О B С α n 1 Рис11 Решение Поток магнитной индукции через рамку равен сумме потоков, пронизывающих каждую половину рамки, направления нормалей к которым задаются векторами n 1 и n (см рис1) ( α ϕ) n n ϕ 1 B α ϕ ϕ Рис1 Если учесть, что в начальный момент времени нормаль n 1 совпадает по направлению с вектором B, а нормаль n развернута на угол α по отношению к нормали n 1, то полный магнитный поток через рамку в любой момент времени t будет равен Φ = Φ S S = B cos ϕ + B cos( α ), 1 + Φ ϕ где ϕ = ωt - угол поворота рамки (рис1) Таким образом, полный поток как функция времени опишется выражением S S α α Φ = Φ1 + Φ = B cosωt + B cos( ωt α) = BS cos cos ωt По закону электромагнитной индукции для величины ЭДС получим: α α εi = = BSωcos sin ωt dt Амплитудное значение ЭДС индукции ε достигается при sin( ωt α / ) = 1 и равно m = BSωcos(α / ) Для заданных в задаче специальных случаев, получим: а) α = = BSω ε ε m, б) α = 9 = BSω / m, ε m 7

8 в) α = 18 ε m = Проводящий контур в переменном магнитном поле Пример 7 Магнитный поток через замкнутый проводящий контур сопротивлением = 1 Ом изменяется со временем t по закону Ф = βt, где β = 1 Вб/с Определите силу тока I в контуре в момент времени t = 1 мс Решение Мгновенное значение ЭДС индукции, согласно закону Фарадея, определяется как εi ( t) = = βt dt Тогда ток в контуре по закону Ома равен ε i βt Ii = = = ма Знак минус в полученном выражении свидетельствует о том, что направление индукционного тока противоположно направлению положительного обхода контура, которое в свою очередь согласовано с направлением вектора нормали к поверхности, натянутой на контур Причиной индукции является вихревое электрическое поле, порождаемое изменяющимся магнитным потоком, если контур неподвижен, и сила Лоренца, если он перемещается в неоднородном постоянном магнитном поле Пример 8 На длинный соленоид, имеющий диаметр сечения d = 5 см и содержащий n = витков на 1 см длины, плотно надет круговой виток из медного провода сечением s = 1 мм 9 (удельное сопротивление меди ρ = 16 1 Ом м ) Найдите ток в витке, если ток в обмотке соленоида увеличивают с постоянной скоростью I & = 1 А/с Магнитным полем индукционного тока пренебречь Решение Магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно В = μin, где n число витков на единицу длины, а I мгновенное значение тока Поэтому, при выборе направления нормали к поверхности витка вдоль направления поля, магнитный поток через эту поверхность равен Φ = BS = μ In S, где S = πd / 4 - площадь поверхности витка При увеличении тока в обмотке соленоида магнитный поток через виток возрастает, и возникающий индукционный ток определяется выражением πd I =ε = = μin &, i i dt 4 8

9 где = πdρ / s, а знак минус определяет направление индукционного тока в направлении противоположном направлению положительного обхода витка Тогда, величина тока через виток в момент времени t равна I i μ = nsdi& ма 4ρ Пример 9 Плоский контур (рис13), имеющий вид двух квадратов со сторонами = см и = 1 см, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном его плоскости Индукцию поля меняют по закону B = B sin ωt, где B = 1 мтл и ω = 1 с 1 Найдите амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление единицы его длины = 5 МОм/м Магнитным полем этого тока пренебречь 1 Решение Индукционный ток в рамке равен Рис13 ε i Ii = = 1 dt На рис14 показано направление магнитного поля, а также нормалей к поверхности каждого из квадратов, составляющих контур, согласованные единым направлением положительного обхода С учетом этого суммарный магнитный поток через контур равен Φ = B B = B ( ) sin ωt I i n n I i Откуда Рис14 Bω( ) I i= cos ω t Учитывая, что сопротивление контура равно = 4( + ) 1, найдем амплитуду индукционного тока I i m ωb ( ) = =,5 на 4 1 9

10 Заряд и изменение магнитного потока Пример 1 Квадрат, изготовленный из проволоки сопротивлением = 1 Ом, помещен в однородное магнитное поле, вектор индукции B которого перпендикулярен плоскости квадрата Длина стороны квадрата а = 1 см Величина индукции магнитного поля сначала равна B=,1 Тл а затем ее уменьшают до нуля Найдите величину q заряда, который в результате переместится через поперечное сечение проволоки Решение Количество электричества, протекающего через любое поперечное сечение контура с сопротивлением при изменении магнитного потока сквозь контур на величину ΔΦ, равно εi 1 ΔΦ q = Iidt = dt = dt = dt Отметим, что величина q не зависит от характера временной зависимости изменения магнитного потока, а определяется только его начальным и конечным значениями Так как индукция магнитного поля меняется от B до нуля, приращение магнитного потока, пронизывающего контур, равно ΔΦ = B = B А величина заряда, который протекает по проволоке, определится выражением B q = = 1 5 Кл Вихревое электрическое поле Пример 11 В длинном прямом соленоиде с радиусом сечения = 5 см и числом витков на единицу длины n = 5 см 1 ток изменяют по закону I = αt, где α =1 А/с Найдите модуль напряженности индукционного электрического поля Е на расстоянии от оси соленоида Решите задачу для: ) = 3 см, б) = 8 см Изобразите примерный график зависимости Е() Решение Циркуляция электрического поля, возникающего при изменении тока в обмотке, определяется законом электромагнитной индукции = B ( E, d ) ds dt Магнитное поле внутри длинного прямого соленоида однородно и равно В μ In = μ nαt а снаружи отсутствует В = =, Учитывая осевую симметрию магнитного поля соленоида, линиями электрического поля являются концентрические окружности с центрами на оси соленоида Выберем в качестве контура Γ линию поля E с направлением обхода, соответствующего правилу правого винта нормали n, совпадающей с направлением поля B в соленоиде (рис15а) Тогда циркуляция электрического поля по этому контуру определяется как 1

11 а) Если <, то Отсюда следует, что 1 ( E, d ) = π E( ) Φ Γ = B π и по закону электромагнитной индукции π E = μ nα π α 3 E( ) = μn = 9,4 1 В/м Знак минус в полученном выражении показывает, что направление линий поля E противоположно направлению положительного обхода контура Γ В этой области поле является вихревым и соленоидальным (смрис15а - вид сбоку и 15Б - вид сверху) B I n Γ Γ 1 E E B Γ 1 I Γ А Б Рис15 б) Теперь рассмотрим контур Γ в виде окружности радиусом Φ Γ = B π и, следовательно E π = μ nα π, откуда величина напряженности электрического поля вне соленоида > В этом случае α 3 E( ) = μn = 9,8 1 В/м В этой области магнитного поля нет и B / t = Следовательно, в соответствии с законом B электромагнитной индукции в дифференциальной форме [, E] =, поле вне соленоида t является безвихревым [, E ] =, но не является потенциальным, так как не для любого замкнутого контура циркуляция напряженности поля равна нулю То есть поле в этой области является безвихревым и соленоидальным (смрис15 А, Б) Примерный график зависимости E () представлен на рис16 11