Численное исследование задачи регулирования процесса извлечения нефти при двухфазной трехкомпонентной фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»
Предложена постановка задачи оптимального регулирования извлечения нефти по технологическому критерию качества решения. Процесс вытеснения нефти в слоистом пласте описан осредненной моделью двухфазной трехкомпонентной фильтрации по схеме Баклея Леверетта. Параметры слоистого пласта могут изменяться вдоль координатных осей. Проведено сравнение основных технологических показателей извлечения нефти, полученных без учета и с учетом оптимального регулирования для трех вариантов задания распределения абсолютной проницаемости в элементе заводнения неоднородного пласта. Для всех вариантов лучшие технологические показатели извлечения нефти получены с применением оптимального регулирования .A formulation of the optimal oil extraction control problem according to the technological criterion of solution quality is suggested.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Слабнов Виктор Дмитриевич
The process of oil extraction in a laminated layer is described by an averaged model of two-phase three-component filtration using the Buckley-Leverett scheme. Reservoir characteristics can change along coordinate axes. The comparison between the basic technological parameters of oil production, obtained with and without regard to optimal regulation for three variants of absolute permeability distribution in a waterflooding element is made. For all the variants, the best technological parameters of oil extraction are obtained using optimal control .
Текст научной работы на тему «Численное исследование задачи регулирования процесса извлечения нефти при двухфазной трехкомпонентной фильтрации»
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 4 Физико-математические науки
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗВЛЕЧЕНИЯ НЕФТИ ПРИ ДВУХФАЗНОЙ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Предложена постановка задачи оптимального регулирования извлечения нефти по технологическому критерию качества решения. Процесс вытеснения нефти в слоистом пласте описан осредненной моделью двухфазной трехкомпонентной фильтрации по схеме Баклея-Леверетта. Параметры слоистого пласта могут изменяться вдоль координатных осей. Проведено сравнение основных технологических показателей извлечения нефти, полученных без учета и с учетом оптимального регулирования для трех вариантов задания распределения абсолютной проницаемости в элементе заводнения неоднородного пласта. Для всех вариантов лучшие технологические показатели извлечения нефти получены с применением оптимального регулирования.
Ключевые слова: численное исследование, математическая модель, двухфазная трехкомпонентная фильтрация, оптимальное регулирование.
За последние годы наблюдается заметный прогресс в постановке и решении различных 2D- и 3Б-многофазных задач теории фильтрации - задач прогнозирования показателей разработки сложных по строению нефтяных пластов. Одним из перспективных направлений в теории разработки нефтяных месторождений является постановка и решение задач регулирования процесса извлечения нефти водными растворами химреагентов. Вместе с тем этот класс задач, несмотря на его значимость, наименее исследован, что связано прежде всего со значительными трудностями в построении алгоритмов решения таких задач.
Новые технологии разработки нефтяных пластов, которые используют аппарат математического программирования и современное математическое моделирование, будут способствовать достижению высоких технико-экономических показателей и повышению извлечения нефти из пластов различного строения.
При заводнении неоднородных пластов растворами химреагентов (ПАВ, полимеры, гели) из-за истощения запасов нефти, а также ухудшения структуры пластов [1, 2] термин «технология» подразумевает выявление наиболее экономичных или эффективных по извлечению способов разработки. В этом случае могут быть использованы экономические (минимизация затрат ресурсов, денежных и материальных, максимизация прибыли от извлеченной нефти [3, 4]) или технологические (максимизация текущего или конечного коэффициента нефтеотдачи [5-9]) критерии качества решения. Отметим, что в [7] оптимальные дебиты добывающих скважин определялись с использованием коэффициентов интерференции (взаимовлияния) скважин.
Необходимость повышения объема добываемой нефти из пластов сложного геологического строения с применением водных растворов химреагентов и определение технологических показателей регулирования процесса извлечения нефти по критерию максимизации коэффициента текущей нефтеотдачи делают актуальной проблему построения математических моделей и выбора численных методов решения оптимизационных задач с использованием технологического критерия качества. Из-за неполноты геологической информации о строении трехмерного пласта, особенно на ранней стадии его разработки, становится очевидным преимущество использования осредненной двухмерной математической модели по сравнению с трехмерной. Это преимущество обусловлено и значительным сокращением времени численных расчетов за счет уменьшения размерности задачи и числа ячеек конечно-разностной сетки [10].
В настоящей работе использована модель Баклея - Леверетта процесса вытеснения нефти водным раствором химреагента заданной концентрации из слоистых пластов, в которой не учитываются гравитационные и капиллярные силы [6, 11, 13]. Предполагается, что параметры слоистого пласта, например абсолютная проницаемость, могут изменяться вдоль всех координатных осей. Дискретный аналог вероятностного закона распределения абсолютной проницаемости в слоистом пласте определяется на основе заданных двух параметров: математического ожидания и дисперсии. Полученный вероятностный закон использован для построения «фиктивных» (модифицированных) относительных фазовых проницаемостей в слоистом пласте [14, 15].
При численном решении задачи регулирования для построенной усредненной математической модели использование симплекс-метода позволяет определить оптимальные дебиты и забойные давления источников и стоков при задании для них двусторонних ограничений и некоторых вариантов граничных условий в элементе заводнения. Критерием оптимизации является максимизация целевой функции, а именно суммарного отбора нефти [16, 17].
Цели настоящей работы - построение математической модели двухфазной трехкомпонентной фильтрации в слоистом пласте при выполнении гипотезы о вытеснении нефти водным раствором химреагента из элементарного объема; постановка задачи оптимального регулирования по технологическому критерию качества решения; анализ результатов численного решения задачи оптимального регулирования для трех вариантов распределения абсолютной проницаемости в элементе заводнения, а также их сравнение с результатами численного решения задачи без регулирования в режиме заданных забойных давлений на различных сетках.
1. Осредненная математическая модель процесса двухфазной трехкомпонентной фильтрации в слоистых пластах
В [8, 15] описана 3D математическая модель вытеснения нефти из пласта толщиной H, в котором абсолютная проницаемость изменяется по вертикали и горизонтали. При некоторых допущениях эта модель была усреднена по толщине пласта, в результате получена следующая усредненная 2D модель процесса фильтрации
относительно усредненной скорости фильтрации V и нефтенасыщенности V
div(DH) = Nh(x,y), div (VFh(?,V)) - Nfh(x, y)FH(V V) = mH^V, (1)
где V = — V(V gradp - суммарная усредненная скорость фильтрации нефти и воды, Nh(x,y) - усредненная плотность источников (стоков), V(V) = Ад (&ф(V, V)/рн+
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
+кф(к)/^в) - суммарная усредненная проводимость в слоистом пласте, FH(s) = = ка &ф(к, к)/\p,Ha(s)\ - усредненная доля нефти в потоке жидкости, к - усредненная концентрация.
В рамках данной модели учтем процесс вытеснения нефти водным раствором химреагента. Выделим в трехмерном пласте элементарный столбец со сторонами dx, dy, dz. Определим изменение нефти и воды в объеме Hdxdy элементарного столбца. Пусть доля химреагента в единице объема считается очень малой (порядка
0.05%). В этом случае при получении уравнения неразрывности для раствора химреагента данной величиной можно пренебречь, то есть вместо величины sB(1 — c), где c - концентрация химреагента, рассматривать sB. В этом случае вид уравнений материального баланса для вытеснения нефти водным раствором химреагента будет соответствовать системе (1) (по аналогии с [6]). Составим уравнение неразрывности для доли химреагента в единице объема водного раствора.
Расходы втекающего и вытекающего растворов химреагента через грани элементарного столбца площадью Hdy равны соответственно V£cHdydt и (VycHdy+ + [д(VBXHc)/dx]dxdy) dt. Аналогично, через грани элементарного столбца площадью Hdx указанные расходы равны VycHdxdt и (VycHdx + [д(VyHc)/dy]dxdy) dt. Тогда изменение объема химреагента за время dt равно dxdymH[д($cc)/dt]dt, где фс c = (1 — sH)c + a/m.
Для линейного вида изотермы адсорбции имеем a = оГ(1 — sH), где Г - коэффициент Генри. Составим уравнение материального баланса для концентрации химреагента в элементарном столбце
д (VyHc) /dx + д (VyHc) /dy = —mH д(фсе)/д1. (2)
Для определения величин Vy, Vy используем следующее допущение о механизме вытеснения нефти водным раствором химреагента из [14]: будем считать, что j -я среда, то есть область постоянной абсолютной проницаемости в элементарном столбце, может состоять из отдельных компонент; объем остаточной нефти зависит от концентрации водного раствора химреагента. Так как при вытеснении нефти имеет место адсорбция раствора химреагента, то концентрация некоторого бесконечно малого объема раствора в процессе вытеснения будет уменьшаться, и в конечном итоге можно считать, что она равна нулю.
Пусть в j -й среде с абсолютной проницаемостью kaj водный раствор химреагента имеет концентрацию c09oj , где 9oj - отношение текущей концентрации в момент времени t к максимальному значению концентрации в j -й среде. Пусть остаточная нефтенасыщенность s*Hj) в j-й среде изменяется в процессе вытеснения по линейному закону [14]: s*H(j) = s*H(1 — 9oj) + s*H9oj , где s*H соответствует максимальному значению концентрации c* , а s*H - минимальному значению концентрации c* =0. Предположим, что данные значения одинаковы для всех сред. Тогда максимальное значение водонасыщенности в j -й среде равно sb(j) = 1 — s*Hj).
Определим по аналогии с [15] активные нефтенасыщенность 9j и водонасыщенность 1 — 9j в j -й среде для случая вытеснения нефти раствором химреагента:
9j = (sH(j) — s*H(j))/(sH(j) — sH(j)) , 1 — 9j = (sH(j) — s*H(j))/(sH(j) — s*H(j)). Как
и при выводе формулы (2) в [15], можно получить нефте- и водонасышенность в элементарном столбце в виде