Решение задач оптимального управления при кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных на классе функций управляющих воздействиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрены задачи оптимального управления объектами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений при кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных на классе функций управлениях. Оптимизируются как кусочно-постоянные значения параметров управлений, так и границы интервалов постоянства этих значений. Получены аналитические формулы градиента функционала по оптимизируемым параметрам, позволяющие для численного решения задач применять эффективные методы оптимизации первого порядка. Приведены результаты численных экспериментов.

Текст научной работы на тему «Решение задач оптимального управления при кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных на классе функций управляющих воздействиях»

атематические проблемы управления

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОРИ КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫХ, КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ И КУСОЧНО-ЗАДАННЫХ НА КЛАССЕ ФУНКЦИЙ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ1

Ключевые слова: задача управления, система с сосредоточенными параметрами, градиент функционала, принцип максимума, кусочно-постоянное управление, кусочно-линейное управление, кусочно-заданное управление, интервал постоянства управления.

При управлении многими реальными процессами осуществление частых изменений значений управляющих воздействий либо связано с большими трудностями реализации, либо вообще невозможно. Поэтому, с практической точки зрения, возникает необходимость исследования задач оптимального управления на заданных классах, например, на классах кусочно-постоянных, кусочно-линейных и других управляющих воздействий. В настоящей статье исследуются нелинейные задачи оптимального управления процессами, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В рассматриваемых задачах управление принадлежит классам кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-заданных управляющих функций; оптимизируются кусочно-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики. Грант № Е1Р/аЛМ-2-2013-2(8)-25/06/1.

постоянные значения коэффициентов, входящих в выражении управлений, и оптимизируются сами интервалы постоянства этих коэффициентов. Важно, что границы интервалов постоянства коэффициентов неизвестны и оптимизируются. Предложен метод численного определения оптимальных кусочно-постоянных значений коэффициентов и интервалов их постоянства, основанный на методах конечномерной оптимизации первого порядка и полученных формулах градиента функционала по оптимизируемым параметрам.

Отметим, что различные другие аспекты оптимального управления на классе кусочно-постоянных функций исследовались многими авторами [1—9]. В частности, для решения линейно-квадратичной задачи управления на классе кусочно-постоянных управляющих функций с оптимизируемыми временами их переключения использована фундаментальная матрица решений [3], получены условия оптимальности для случая, когда управления принимают значения из заданного множества с конечным числом значений [7]. Предложен подход к синтезу зональных кусочно-постоянных уп-

равляющих воздействий [8]. Исследования данной работы отличаются от других подходов, использующих дискретизацию непрерывной задачи оптимального управления, в которых управляющие воздействия естественно становятся кусочно-постоянными. Здесь параметры управляющих воздействий предполагаются заведомо кусочно-постоянными, а интервалы постоянства никак не связанными с шагом дискретизации задачи, а самое важное то, что оптимизируются сами моменты времени переключения управлений, т. е. границы интервалов постоянства значений параметров управления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются задачи оптимального управления объектами, описываемыми системами обыкновенных, в общем случае нелинейных, дифференциальных уравнений. Пусть состояние управляемого объекта определяется задачей Коши:

* (?) = /(х, и, ?), ? е (0, Т], х(0) = Х0, (1)

где х = х(?) е Е", ? е [0, Т] — фазовое состояние объекта; и = и(?) е Ег, ? е [0, Т] — управление; вектор-функция / = (/х, /2, . /")т непрерывно дифференцируема по (х, и) и непрерывна по ?. Момент времени Т и начальная точка х0 е Е" заданы. Рассмотрены три постановки задачи оптимального управления, различающиеся допустимыми классами функций, в которых ищутся оптимальные управляющие воздействия и(?).

1.1. Управления из класса кусочно-постоянных функций

Управление и = и(?) е Ег, ? е [0, Т ], постоянное на каждом полуинтервале [т.. _ 1 т.), у = 1, . X, полученном разбиением отрезка [0, Т] (X — 1) опти-

мизируемыми точками т., j = 1, . L — 1, (рис. 1), т. е. [10]

u(t) = v. = const, t e [т. _ 1 т.), v. e Er, (2) т.. _ j < т., j = 1, . L, т0 = 0, tl = T, (3)

а значения управления v. e Er, j = 1, . L, принадлежат некоторому множеству U, в частности, параллелепипеду:

v., a., p. e Er, j = 1, . L>. (4)

Задача заключается в нахождении кусочно-постоянных значений управления u(t), т. е. значений конечномерных векторов v.. e Er, j = 1, . L, и границ интервалов постоянства этих значений, определяемых вектором т = (тр . тх _ j) , при которых заданный функционал

при условиях (1)—(4) принимает минимальное значение, (V, т) е ЕЬС +1)-1. Предполагается, что заданные функции /0 и Ф непрерывны вместе с частными производными по своим аргументам и число интервалов постоянства управлений X задано.

1.2. Управления из класса кусочно-линейных функций

Управление и = и(?) е Ег, ? е [0, Т ] — линейная функция на каждом полуинтервале [т.. - т.), у = = 1, . X, полученном разбиением отрезка [0, Т] (X — 1) оптимизируемыми точками т., у = 1, . X — 1 (рис. 2), т. е.

и(?) = (? - т. - х) + с2, ? е [т. - р т.),

. - 1' 1 . - 1' . cj, e Er, (6)

Рис. 1. Кусочно-постоянное управление

а допустимые значения управления принадлежат некоторому множеству и, в частности, параллелепипеду:

Если обозначить параметры управления С =

/Л гЬ\Т / 1 1 2 2 Ь ЬЧТ

= (С , . С ) = (с1, с2, с1, с2, . с1 , с2 ) , то ясно, что функционал (5) будет зависеть от С и т:

Рис. 2. Кусочно-линейное управление

Задача заключается в нахождении таких векторов С = (С1, . С£)т и т = (тр . т1 _ 1)т, при которых заданный функционал (8) при условиях (1), (6), (3), (7) принимает минимальное значение.

1.3. Кусочно-заданные на классе функций управления

Управление и = и(*) е Ег, * е [0, Т] определяется заданными базисными функциями фж(? — т.- ,),

и(0 = Е СЖ Фж(? - т. - * е [т.. - р T/.),

а допустимые значения управлений принадлежат некоторому множеству и, в частности, параллелепипеду (7).

Задача заключается в нахождении векторов параметров управления С = (С1, . С1) = (с1, . сМ,

. с1 , . см) , и т = (т1, . т1 - 1) при условиях

(1), (9), (3), (7), при которых заданный функционал (8) принимает минимальное значение. Предполагается, что заданные функции фж(? — т._ ,),

т = 1, . М, * е [т._ 1, т.), вместе с частными производными по (х, и) непрерывны.

Таким образом, в зависимости от выбора управления в форме (2), (6) или (9), будут рассмотрены три постановки задачи оптимального управления: 1) (1)—(5); 2) (1), (6), (3), (7), (8); 3) (1), (9), (3), (7), (8).

Отметим, что разрыв первого рода управляющих воздействий и(*) в какие-либо моменты времени т. е [0, Т], как известно, приводит к потере гладкости и появлению изломов траектории х(*) при * = т.. При расчетах, а именно, при решении системы дифференциальных уравнений (1) численными методами возможны два подхода к учету моментов разрыва управления. Согласно одному из них применяется неравномерный шаг интегрирования, при котором моменты переключения включаются во множество точек дискретизации интервала времени [0, Т ]. В этом случае изменение значения управления на интервалах, полученных при дискретизации, учитывается естественным образом. В соответствии с другим подходом множество точек дискретизации берется равномерным, а на интервалах, в которые попали точки переключения управления, значения управления усредняются.

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИСКРЕТИЗИР0ВАНН0Й ЗАДАЧИ

Исследуем решение задачи на каждом из рассмотренных выше классах управления в отдельности.

2.1. Управления в форме (2)

Для численного решения задачи (1)—(5) воспользуемся схемой, предложенной в работах [11—14]. Для этого на отрезке [0, T] введем равномерную сеточную область

Q = [Щ = ih, / = 0, . N, h = T/N>,

где N — заданное натуральное число.

В области Q аппроксимируем значение управления u = u(t) е Er, t е [0, T]:

Рис. 3. Кусочно-заданное управление

Vj, [t„ ti +1) с [Tj-1, Tj), j = 1, . L,

j = 1, . L - 1, / = 0, . N - 1.

Видно, что если момент времени переключения управления т.. находится между узловыми точками и + 1, то значение управления и, аппроксимируется линейной комбинацией значений V., V. + 1.

Применяя какую-либо схему аппроксимации (например, явную и неявную схемы метода Эйлера, метод Рунге — Кутты, метод Адамса и др.), аппроксимированную систему (1) можно в общем случае представить в виде:

х' = ^(х', П ог), х0 = Х0, I = 1, . N

X' = Ц : 5 е XX>, V1 = , (11)

где функция Р., индексные множества XX, XV, ^Т определяются применяемой схемой аппроксимации задачи (1).

Например, для явного метода Эйлера функция

^(Х', V, Ог) = - 1 + А/Хх,- 1, и, - 1, - 1),

а индексные множества

Х'т = . Для неявного метода Эйлера ^(Х', П Ог) = - 1 + А/(хг, и, - 1, ?,), I = 1

^ = : т._ 1 < _к < т., I = 5q + к, к = 1, 2, 3, 4, К 1.0, / = 5#,

= : - к < т.. < - к +1,1 = 54 + к, к = 1, 2, 3, 4, Т 1.0, / = 54,

I = 1, . 5Ж, 4 = 1, . N - 1.

Интеграл, участвующий в выражении функционала (5), аппроксимируем с помощью какой-либо квадратурной формулы:

/(V, т) = Ф(%) + А I уг/°(х, и,, ?,) ^ ш1п, (15)

где у,, / = 0, 1, . N — коэффициенты квадратурной формулы.

В результате получим конечномерную задачу математического программирования (10), (11), (15) с учетом условий (3), (4).

Для решения задачи (10), (11), (15), т. е. для определения оптимальных значений векторов V и т, воспользуемся численными методами конечномерной оптимизации первого порядка, в частности, итерационным методом проекции градиента функционала в пространстве оптимизируемых параметров (V, т):

Х'т = . Для метода Рунге — Кутты четвертого порядка

АЛ *5? + 2*5? + 1, и5у ?5^ + » = 54 + 2,

II А/(*5? + *5? + 3, и5у ?5^ + А), » = 54 + 4

где Р(3) (4) — оператор проектирования вектора (V, т)

на допустимую область параметров, определяемую

ограничениями (3), (4); (V0, т0) — некоторое заданное начальное приближение для оптимизируемых параметров; векторы

определяют градиент функционала задачи (10), (11), (15), формулы для компонент которого будет получены далее.

Введем индексные множества XX, XV, ^Т, которые назовем сопряженными относительно множеств XX, X V, X т:

р, = ¿/(у, т)/яХ., р, е Е", I = 0, . N

будем называть импульсными переменными [10—14]. Здесь производная понимается как полная, с учетом взаимозависимости значений х,, / = 0, . N в соотношениях (11). Отсюда с учетом (11) следует:

Систему (19) назовем сопряженной системой. Из формулы (12) несложно понять, что для явного метода Эйлера ЬХ = , а сопряженная система имеет вид:

Для метода Рунге — Кутты четвертого порядка (14) из системы (19) имеем:

НЗ/ (х5д + х5д + 3, и5у *5д + Н)

Н2 З/Т( г, и5 д, *5 д + Н/2) Р

где г = х5д + Н/2(х5д+2), I = 5д + 2, 1

где г = х5д + Н/2(х5д + 1), / = 5д + 1,

Н2 З/Т( г, и5 д, *5 д + Н/2)

, З/ (х5д, и5д, *5дК НЗ/ (х5д, и5д, *5д)„

, НЗГ (х5д + Н/2(х5д + 1X u5д, *5д + Н/2)„

+ НЗ/Т(х5д + Н/2(х5д + 2X u5д, *5д + Н/2) Р

Р = З/ = ЗФ(хж) + , З/ (х№ и№

где Е — п-мерная единичная матрица.

Для неявного метода Эйлера (13) ЬХ = , а сопряженная система (19) примет вид:

ЗТ(Хг, V', О') _ _ __ ,З/0(х, и,, 3)

+ НЗ/ (- 1, ц Р', , = N - 1, . 1, (21)

^ = л; + ЗТ) 33 о) = ЗФ (х3) + Зх^ Зх^ Зх^

Р = ЗФ(х5N) + ч НЗ/ (х5N, и5№ Ы Р5N зз + '5^' зз

I = 5N - 1, . 0, д = N - 1, . 0,

Учитывая зависимости (11) и определение для сопряженных переменных (18), компоненты градиента

3 = ЗЗ + у .¿ЗЗ) = ЗЗ +

¿у. Зз. _,• ¿х ? Зу. Зу.

33 = ЗЗ + у 33 ЗЗ = ЗЗ +

+ у З3(3ЗП 3)р?, у =1, Ь -1. (24)

В частности, для явного метода Эйлера предположим, что момент переключения т. находится между узловыми точками ?к . -1 и ?к ., т. е. т. е [ ?к . -1, ?к .),

у = 1, . X - 1. Ясно, что тогда значение управления V. будет влиять на переменные х с индексами 5 = к. - 1, к.. - 1 + 1, . к. - 1, к. В этом случае

IV = и 1т = . Следовательно, компоненты градиента

где р5, 5 = к. - 1, . к., у = 1, . X, определяются из системы соотношений (20), а частные производные Зи/Зv., 5 = к. - 1 - 1, . к. - 1, у = 1, . X, определяются из соотношения (10):

(+1 - т. -1) А 5 = к -1 -1

Для компонент градиента имеем:

+ З/ (хку - 1, и-у - 1, - 1 )

где рк . , у = 1, . 7 - 1, определяются из соотношений (20). Частные производные З ик-- 1/Зт., у = 1,

. X - 1 определяются непосредственно из соотношения (10):

Тогда из выражений (26) и (27) для у = 1, X - 1 получаем

З/ (-ку - 1, —У- - 1 - 1 ) +

+ З/ (хку - ь ику- - l, - 1 )

З/ (х- ь и5-1, -1) Зи5-1

+ З/ ^ и5 - 1» Зи5 - 1 р

З/ (-кУ - 1, и -У - 1, ?ку - 1 ) +

где р5, 5 = к. - 1, . к., у = 1, . X, определяются из сопряженной системы (21), а частные производные Зиs/Зv/, 5 = к. - 1 - 1, . к. - 1, у = 1, . X, — по формулам (25).

Для метода Рунге — Кутты четвертого порядка

= I . а З/ (х55, и55, ?55) Зи55 + I ^ р 5 = к ,. , Зи5^ З7 5 = 5к._ 1 ЗV/.

З/0( хк, -1, ик, -1, ?к, -1 )Зик, -1 , = А Ук; -1-—-У-У--— +

З ику- 1/Зту = (v/. - ^ + 1)/А у = 1, . X - 1.

4 Зхк. „ Зик 1 + I ^ -к-1 рк.-5, у= 1, . X- 1, (29)

5 = 0 Зик - 1 Зт; У

АЗ/(х5 и 5 у -5а)З и5- 5 = 54 + 1

А З/(х5а + А/2(х5а + к -1X и5а ?5а + А/2) Зи5а

5 = 54 + к, к = 2, 3, А З/( х5а

Импульсы р5, 5 = 5 к. - 1, . 5к., у' = 1, . X, определяются из соотношений (22), а частные производные З ику- 1/Зт., у = 1, . X - 1, — по формулам (27).

Формулы (23) и (24) определяют компоненты градиента (17) функционала задачи (10), (11), (15).

Как указывалось в работах [11—15], именно приведенные формулы для импульсов и градиента функционала точно соответствуют применяемым схемам аппроксимации. Для аппроксимации классической сопряженной системы для непрерывного случая так же необходимо использовать приведенные формулы, соответственно схеме аппроксимации прямой задачи. Но надо отметить, что при аппроксимации непрерывных прямых и сопряженных систем «увидеть» правильность согласования схем не просто. В предложенных формулах это согласование происходит естественно [11—15]. Отметим, что формулы (28) и (29), полученные для случая применения метода Рунге — Кутты, ранее никем не приводились как в классическом случае кусочно-непрерывного класса управлений, так и, тем более, для рассматриваемых в данной работе классов управляющих воздействий.

Итерационный процесс (16) осуществляется в несколько этапов:

1) при текущих значениях вектора тк) е Е2Ь-1 из формул (10) и (11) определяется решение аппроксимированной задачи Коши е Е", / = 0, . N

2) из формулы (19) в обратном порядке, начиная от / = N и продолжая до / = 0, определяются

векторы импульсов р, е Е ;

3) из формул (23) и (24) определяются компоненты градиента (17);

4) выполняется процедура (16) с выбором шага а из условия одномерной минимизации функционала (15) (учитывая «простоту» допустимой об-

ласти параметров (3), (4), операция проектирования Р(3) (4) не представляет сложности) определяется новое приближение (^ + 1, тк + 1).

В случае невыполнения условия оптимальности или останова повторяются этапы 1—4.

2.2. Управления в форме (6)

В области О аппроксимируем значение управления и = и(?) е Ег, ? е [0, Т ] и функционал (8):

I = 0, . N - 1, 7(С, т) = Ф(%) + А I у,/0(хр и,, ?,) ^ ш*п. (31)

Видно, что если момент времени переключения управления т. находится между узловыми точками и + 1, то значение управления и,, аппроксимируется линейной комбинацией значений

Итак, аппроксимируя задачу (1), (6), (3), (7), (8), в результате получим конечномерную задачу математического программирования (11), (12), (30), (31) с учетом условий (3), (7).

Для решения задачи (11), (12), (30), (31), т. е. для определения оптимальных значений векторов

С = (с1, с2, с1, с2, . с1 , с2 ) и т, воспользуемся

итерационным методом проекции градиента функционала в пространстве оптимизируемых параметров (С, т):

к + 1 к + 1 (С , т ) = Р

а(^7(Ск, тк)/^С, ¿7(Ск, тк)/^т)], к = 0, 1, .

где Р(3) (7) — оператор проектирования вектора (С, т)

на допустимую область параметров, определяемую

ограничениями (3), (7); (С0, т0) — некоторое заданное начальное приближение для оптимизируемых параметров; векторы

определяют градиент функционала (31).

Получим формулы для вычисления градиента (33). Предположим, что момент переключения т.

находится между узловыми точками 'к,_ 1 и 'к,, т. е. т. е [ 'к, -1, 'к,), у = 1, . Ь - 1. Тогда компоненты

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рагимов Анар Бейбала Оглы