1.14. Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо)

Теорема. Силу F, не изменяя её действие на тело, можно перенести из точки её приложения А в любой центр приведения О, присоединив при этом к телу пару сил с моментом М, геометрически равным моменту MО(F) этой силы относительно центра приведения.

усть задана силаF, лежащая в горизонтальной плоскости OXY параллельно оси ОХ (рис. 1.41).

Согласно методу Пуансо вместо силы F, приложенной в точке А, получена сила F1, равная по величине силе F, но приложенная в точке О и присоединённая пара сил, векторный момент которой M = MО(F).

По теореме об эквивалентности пар сил присоединённую пару сил можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.

1.15. Приведение произвольной системы сил к заданному центру

Теорема. Любую произвольную систему сил, действующую на тело, можно привести в общем случае к силе и паре сил.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

усть задана произвольная система сил (F1, …, Fn) (рис. 1.42).

Последовательно применяя метод Пуансо к каждой из заданной системы сил, приведём её к произвольному центру О. В результате этого получим систему сил (F1, …, Fn), приложенных в центре О, и присоединённую пару сил с моментом M = Σ MО(Fi). Складывая силы F1, …, Fn по правилу параллелограмма, получим их равнодействующую R * , равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения.

Геометрическую сумму всех сил системы называют главным вектором системы сил и, в отличие от равнодействующей R, обозначают R * .

Вектор M = Σ MО(Fi) называют главным моментом системы сил относительно центра приведения.

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R * , но влияет на модуль и направление главного момента М. Главный вектор R * является свободным вектором и может быть приложен в любой точке тела.

1.16. Аналитические условия равновесия плоской произвольной системы сил

Плоская произвольная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости.

Линии действия плоской произвольной системы сил пересекаются в различных точках.

а рис. 1.43 изображена заданная плоская произвольная система сил (F1, …, Fn), линии действия которых лежат в плоскости OYZ.

Последовательно применяя метод Пуансо для каждой из сил Fi, осуществим параллельный перенос сил из точек Ai в начало О системы отсчёта OXYZ. Согласно этому методу, сила Fi будет эквивалентна силе Fi, приложенной в точке О, и присоединённой паре сил с моментом Mi = MО(Fi). При этом Mi = ± Fihi, где hi – плечо силы Fi относительно центра приведения О. По окончании этой работы получим сходящуюся систему сил (Fi,…, Fn) и сходящуюся систему векторных моментов Mi = MО(Fi) присоединённых пар сил, приложенных в центре приведения. Сложив векторы сил, получим глав

ный вектор R* = ΣFi и главный момент эквивалентной пары сил M = Σ MО(Fi).

Таким образом, плоская произвольная система сил (Fi,…, Fn) эквивалентна одной силе R* = Σ Fi и паре сил с моментом M = Σ MО(Fi).

При решении задач статики используют проекции силы на координатные оси и алгебраические моменты сил относительно точки.

На рис. 1.44 изображена плоская произвольная система сил, приведённая к главному вектору сил, модуль которой R*= и эквивалентной паре сил с алгебраическим моментом M = Σ MО(Fi).

этих формулах Σ FiОX, Σ FiОY – суммы проекций сил на координатные оси; Σ MО(Fi) – сумма алгебраических моментов сил относительно точки О.

Геометрическое условие равновесия любой системы сил выражается векторными равенствами: R* = Σ Fi = 0; M = Σ MО(Fi) = 0.

При решении задач требуется определить реакции Ri E внешних связей, наложенных на механическую систему. При этом активные силы Fi E , приложенные к этой системе, известны. Так как активные силы Fi E и реакции связей Ri E относятся к разряду внешних сил, то геометрическое условие равновесия системы внешних сил целесообразно выразить векторными равенствами:

Σ Fi E + Σ Ri E = 0;

Для равновесия системы внешних сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма активных сил Fi E и реакций Ri E внешних связей и геометрическая сумма моментов активных сил MA(Fi E ) и реакций внешних связей MA(Ri E ) относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Проецируя эти векторные равенства на координатные оси системы отсчёта, получим аналитические условия равновесия системы внешних сил. Для плоской произвольной системы сил эти уравнения приобретают следующий вид:

где Σ , Σ – соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ , Σ – суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ MA(Fi E ) – сумма алгебраических моментов активных сил Fi E относительно точки А; Σ MA(Ri E ) – сумма алгебраических моментов реакций Ri E внешних связей относительно точки А.

Совокупность этих формул есть первая (основная) форма уравнений равновесия плоской произвольной системы внешних сил.

Таким образом, для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к механической системе, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на две координатные оси и сумма алгебраических моментов активных сил и реакций внешних связей относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Существуют и другие формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Вторая форма выражается совокупностью формул:

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на координатную ось и суммы алгебраических моментов сил относительно произвольных точек А и В равнялись нулю.

Третья форма уравнений равновесия выражается совокупностью формул:

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов этих сил относительно произвольных точек А, В и С равнялись нулю.

При использовании третьей формы уравнений равновесия точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.