Простые алгоритмы адаптивного и робастного управления классом линейных объектов с переменными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Герасимов Д.Н., Лызлова М.В., Никифоров В.О.

Предлагаются два простых решения для задач адаптивного и робастного управления по состоянию линейным возмущенным объектом с переменными параметрами. Матрица состояния объекта представлена в нижней треугольной форме. Регулятор строится на основе метода стандартных характеристических полиномов с переменным среднегеометрическим корнем, формируемым в первом решении робастным алгоритмом адаптации, а во втором ¾ нелинейной статической обратной связью. Регулятор обеспечивает ограниченность всех сигналов в замкнутой системе и экспоненциальное стремление выходного сигнала объекта к выходу эталонной модели.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Герасимов Д.Н., Лызлова М.В., Никифоров В.О.

Simple algorithms of adaptive and robust control over a class of linear time-varying objects

Two simple solutions to the problem of adaptive state-feedback control are proposed for a class of time-variant linear objects. State matrix is presented in the low triangular form. The control design is based on standard pole placement approach with variable average radius of roots distribution. The radius is generated by robust adaptation algorithm in the first solution and by nonlinear static feedback in the second one. The control provides the boundedness of all signals in the closed-loop system and exponential convergence of the object output signal to output signal of reference model.

Текст научной работы на тему «Простые алгоритмы адаптивного и робастного управления классом линейных объектов с переменными параметрами»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ПРОСТЫЕ АЛГОРИТМЫ АДАПТИВНОГО И РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ КЛАССОМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Д. Н. Герасимов, М. В. Лызлова, В. О. Никифоров

Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: lyzlovamv@yandex.ru

Предлагаются два простых решения для задач адаптивного и робастного управления по состоянию линейным возмущенным объектом с переменными параметрами. Матрица состояния объекта представлена в нижней треугольной форме. Регулятор строится на основе метода стандартных характеристических полиномов с переменным среднегеометрическим корнем, формируемым в первом решении робастным алгоритмом адаптации, а во втором — нелинейной статической обратной связью. Регулятор обеспечивает ограниченность всех сигналов в замкнутой системе и экспоненциальное стремление выходного сигнала объекта к выходу эталонной модели.

Ключевые слова: адаптивное и робастное управление, линейная система с переменными параметрами.

Введение. Одним из актуальных направлений современной теории адаптивного и робастного управления является поиск путей снижения динамического порядка и уменьшения количества арифметических операций в законе управления. При этом упрощение структуры системы управления не должно препятствовать расширению класса объектов, для которых она создается. Особый интерес представляют именно простые схемы регуляторов, которые позволяют обеспечивать приемлемое качество управления широким классом объектов.

Большинство базовых решений задач адаптивного управления были получены для ограниченных классов объектов. Так, например, в известной литературе [1—3] представлены результаты для линейных стационарных объектов с измеряемым вектором состояния или описываемых строго положительно вещественными (СПВ) передаточными функциями. Если функция не будет обладать свойством СПВ, это может привести к существенному усложнению структуры регулятора (см., например, [4—10]). Так, в работе [10] показано, что динамический порядок адаптивных регуляторов с расширенной ошибкой равен 2n(n - m + 2) -1, алгоритмов высокого порядка — 2n(n - m + 2) -1, а регуляторов, использующих аналитические методы синтеза, — 3n+m+2, здесь n — степень знаменателя передаточной функции объекта управления, m — степень ее числителя.

Расширение известных результатов применительно к классу нестационарных линейных систем [11—13] или к задаче компенсации либо подавления внешних возмущений [14, 15] также приводит к значительному усложнению структуры регулятора, увеличению динамического порядка и количества арифметических операций в законе управления.

В связи с этим в теории адаптивных и робастных систем наметилась тенденция к созданию относительно простых алгоритмов управления. Однако представленные, например, в работах [16—20] простые решения, как правило, распространяются на стационарные линейные объекты.

В настоящей статье предлагаются два алгоритма адаптивного и робастного управления по состоянию нестационарным параметрически неопределенным линейным объектом, подверженным влиянию возмущений. В основе синтеза закона управления лежит идея, изложенная в работах [21, 22]. Идея состоит в замыкании объекта линейной обратной связью по состоянию с коэффициентами, определяемыми на основе метода стандартных характеристических полиномов, в которых среднегеометрический корень формируется двумя различными алгоритмами настройки и возрастает до тех пор, пока замкнутая система не станет устойчивой. Первый алгоритм представляет собой робастный алгоритм адаптации, второй — нелинейную статическую обратную связь; оба алгоритма управления подразумевают настройку всего одного параметра и в этом смысле являются простыми.

Постановка задачи. Рассмотрим линейный параметрически неопределенный нестационарный объект вида

где х е Яп — вектор состояния; и е Я1 — переменная управления; у е Я1 — регулируемая переменная, желаемое изменение которой определяет содержание процесса управления; |е Я" : ||||| < | — возмущение, | — некоторая положительная константа; А, В — матрицы, определяемые как

а1, п-1(/) а2, п-1(/) а3, п-1( 0 • 1 0

_ а1, п (/) а2, п ( 0 а3, п ( 0 • • ап,п ( 0_ 1

где функции а у (/) , / = 1, п, у = 1, п, полагаются неизвестными.

Характеристики класса объектов (1) ограничиваются следующими допущениями. Допущение 1. Пара (А,В) является полностью управляемой.

Допущение 2. Вектор состояния доступен прямому измерению. Допущение 3. Функции а1 (/) ограниченны, непрерывны и дифференцируемы.

Допущение 4. Производные а(к),к = 1, п-1, ограниченны и непрерывны. Необходимо синтезировать закон управления, обеспечивающий в замкнутой системе ограниченность всех сигналов и выполнение следующего целевого неравенства:

где А > 0, Т > 0 — максимальная ошибка и время настройки системы управления соответственно, ум е Я1 — желаемый выходной сигнал объекта, генерируемый эталонной моделью вида

где хм е Я" — вектор состояния эталонной модели, g(/) — задающее воздействие,