Примеры заданий для вступительного испытания Математика 5 класс

1 5 класс 1. Шесть городов соединены автобусными маршрутами. Стоимость проезда между этими городами указана на схеме. За какую наименьшую сумму можно проехать из города А в город В? 2. Найдите самое маленькое число, которое можно получить, выкладывая в ряд карточки, изображённые на рисунке. 3. Если лягушонок зеленый, то он весёлый. Если лягушонок не весёлый, то он сидит на берегу. Все лягушата либо зеленые, либо пёстренькие. Если лягушонок пёстренький, то он плавает в воде. Тогда обязательно А все лягушата плавают в воде; Б все лягушата - не весёлые; В все лягушата - весёлые; Г все лягушата пёстренькие; Д все весёлые лягушата зелёные. 4. Фигура на рисунке состоит из одинаковых квадратов со стороной 1 см. Чему равен её периметр? 5. Из посёлка выехал велосипедист со скоростью 8 км/ч. Когда он проехал 16 км, из этого же посёлка в противоположном направлении вышел пешеход. Через 5 часов после выезда велосипедиста расстояние между ними стало 55 км. Чему равна скорость пешехода? (реши по действиям с пояснением или вопросами) 6. Кролик даёт в год 400 г пуха. Для его содержания нужна клетка длиной 75 см и шириной 60 см. Какую площадь нужно отвести под клетки для кроликов, с которых за год получают 24 кг пуха? 7. В зале стоит несколько скамеек. Если на каждую скамейку сядут 2 ученика, то 7 учеников останутся без места. Если же на каждую скамейку сядут 3 ученика, то 5 скамеек останутся свободными. Узнай число учеников и количество скамеек в зале.

2 6 класс 1. Задуманное число добавили к числу, большему его на единицу. Затем из суммы вычли число, на единицу меньшее задуманного. В итоге получилось 23. Какое число было задумано? 2. Старый гном разложил свои сокровища в 3 разноцветных сундука, стоящих у стены. В один драгоценные камни, в другой золотые монеты, а в третий магические книги. Он помнит, что красный сундук правее, чем драгоценные камни. А магические книги правее, чем красный сундук. В каком сундуке лежат магические книги, если зелёный сундук стоит левее, чем синий? 3. Ярослав и Андрей одновременно выехали из Барнаула в Новоалтайск по одной дороге с постоянными скоростями. Когда Ярославу оставалось до Новоалтайска столько же, сколько он уже проехал, Андрею оставалось до Новоалтайска вдвое больше, чем он уже проехал. Во сколько раз Ярослав едет быстрее Андрея? 4. На прямой отмечены точки A, B, C, D. При этом AB = 4 см, BC = 5 см, CD = 10 см. Чему может равняться расстояние AD? Перечислите все варианты и покажите, что других нет. 5. Разрежьте фигуру на три равные части 6. Федор Иванович устроился работать на завод с ежемесячной зарплатой в руб. в месяц. Подоходный налог в пользу государства составляет 13% от заработной платы. Сколько рублей в месяц получает Федор Иванович после уплаты подоходного налога? 7. Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров

3 7 класс 1. Расставьте в кружки на картинке числа от 2 до 9 (без повторений) так, чтобы никакое число не делило бы нацело ни одного из своих соседей. 2. Периметр треугольника равен 36 см. Стороны треугольника относятся как 2:3:4. Найдите длины его сторон. 3. На полке стояли интересные книги по математике. Юра взял треть всех книг и еще две книги, тогда Леша взял половину оставшихся книг без одной книги, Костя половину оставшихся к этому моменту и еще одну, а Таня последние 8 книг. Сколько книг первоначально было на полке? 4. Однажды на дискотеке Аркадий познакомился с Алиной. Но ровно в полночь она убежала домой в свой город. Утром Аркадий решил ее разыскать, но он не успел узнать, где она живет: в городе рыцарей, в городе лжецов или в городе хитрецов (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а хитрецы иногда говорят правду, а иногда лгут). Он встретил представителей каждого из этих городов Даню, Ваню и Лешу. Каждому из них Аркадий задал по два вопроса: "Кем являешься ты? Кем является Алина?" Даня сказал: «Я не рыцарь. Алина лжец». Леша: «Я не лжец. Алина хитрец». Ваня: «Я не хитрец. Алина рыцарь». Кем же является Алина? 5. Пять положительных чисел a, b, c, d и e таковы, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = 5. Чему равно e/a? 6. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения. 7. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе? 8. Из спичек сложена фигура, состоящая из 9 равных равносторонних треугольников. Уберите 5 спичек так, чтобы осталось 5 треугольников.

4 8 класс 1. Одним пакетиком чая можно заварить 2 или 3 стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 33 стакана чая, а Таня 47 стаканов. Сколько пакетиков было в коробке? 2. Натуральное число a таково, что оно является суммой трёх различных простых чисел, а 7a является произведением тех же трёх простых чисел. Найдите a. 3. После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла? 4. Среднее арифметическое шести чисел равно 17. После того, как одно из шести чисел удалили, среднее арифметическое оставшихся пяти чисел оказалось равно 19. Чему было равно удалённое число? 5. Произвольный выпуклый четырехугольник разрезали на 4 части по прямым, проходящим через середины его противоположных сторон. Как из этих частей сложить параллелограмм? 6. Решите уравнение =0 7. В треугольнике ABC, медиана AD перпендикулярна биссектрисе BF, AB = 5. Найти BC. 8. На рисунке AB=AC, AX=BX=BY и XBY = 12. Чему равен угол CBY? 9. Известно, что Найдите значение выражения

5 9 класс 1. Внутри круга радиусом 6 см проведена окружность, делящая его на две части, площади которых соотносятся как 2:3. Определите радиус окружности. 2. В турнире принимали участие спортсмены из двух стран. Каждый с каждым играл ровно 1 раз. В конце турнира оказалось, что число игр, где соперники были из разных стран, равно числу игр, где спортсмены были соотечественниками. Сколько могло быть участников? 3. ABC равнобедренный треугольник с вершиной А. А=27. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол BCD? 4. В треугольнике = = 1, = 36. Биссектрисы и пересекаются в точке. Найдите периметр треугольника. 5. Сколько отрицательных корней имеет уравнение x 4 2x 3 +3x 2-4x+5 =0 6. Лодка должна пройти 15 км по течению реки и вернуться обратно не позже, чем через 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки? 7. Три бегуна, Андрей, Борис и Саша, соревновались в беге на 100 метров. Когда Андрей добежал до финиша, Борис отставал от него на 10 метров. Когда Борис добежал до финиша, Саша отставал от него на 10 метров. На сколько метров отставал Саша от Андрея в тот момент, когда Андрей финишировал? 8. Найдите максимальное значение выражения, если + = Решите систему уравнений: 4 4 = 15, 2 2 = 3.

6 10 класс 1. Площадь кольца, образованного окружностью, описанной около правильного треугольника, и окружностью, вписанной в него, равна π. Найдите сторону треугольника. 2. Изобразите на плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению y(x + 2) = (x 2 4) 3. Докажите тождество: sin 6 x+cos 6 x+3sin 2 xcos 2 x = 1 4. Три спутника выведены на околоземную орбиту, по которой они вращаются с постоянными скоростями. Когда первый спутник сделал несколько оборотов, он на 80 оборотов обогнал второй и на 100 оборотов третий. Сколько оборотов сделал первый спутник, если второй спутник, сделав такое же количество оборотов, как и первый, обогнал третий на 25 оборотов? 5. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2 = 6, b5 = 48 и b7 = 192? 6. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих соответственно m и n кг, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков? 7. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найти периметр треугольника. 8. Садовник должен рассадить деревья, число которых меньше Если он посадит их рядами по 37 штук, то у него останется 8 лишних деревьев; если же он посадит по 43 дерева в ряд, то у него останется 11 лишних деревьев. Сколько деревьев должен рассадить садовник? 9. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было? 10. Баба Яга и Кощей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кощея. Когда Баба Яга отдала Кощею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кощея. Доказать, что сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.

5 класс 1. В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех трех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась