Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1. ⁠ ⁠

Во время исследований к профессору присоединился его ученик Виктор Прикоп. Вместе они усовершенствовали первоначальную гипотезу в монографии «Проблема центра и фокуса. Алгебраические решения и гипотезы».

Работа была переведена на английский язык и представлена для издания в несколько зарубежных издательств. В итоге лучшие условия предложил издательский дом «Taylor & Francis Group», расположенный в Великобритании и специализирующийся на публикациях научной литературы и журналов.

Где-то всплакнул Гриша Перельман.

Панорама, да не та. И с такими лицами не шутят.

Единственный в своём роде треугольник Шарыгина, открытый лишь в 1982 году⁠ ⁠

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.

Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?

Объясняю: слева заштрихован треугольник, вершины которого образованы основаниями медиан (делят сторону пополам), а справа - основаниями высот. Если большие треугольники не являются равнобедренными, то и заштрихованные равнобедренными быть не могут, это доказанный факт.

И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным!

Заметка Шарыгина об этом объекте опубликована в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия», 1982.

Впрочем, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!

Основная суть доказательства сводится к рассмотрению подобных треугольников и применению теоремы косинусов, что позволяет получить вот такие выражения для сторон треугольника:

Дальнейшие разборки - дело для настоящих ценителей вкуса. Придется делить уголком, решать квадратные и не очень уравнения, использовать неравенство треугольника, да и вообще немного поднапрячься, чтобы получить результат.

Самим доказательством (доступным каждому школьнику 9 класса!) можно проникнуться в телеграмм-канале "Математика не для всех".

Как решали квадратные уравнения 1200 лет назад ?⁠ ⁠

Тогда еще, наверное, не знали, что квадратные уравнения будут уметь решать все.

Сегодня я хочу рассказать Вам о методе дополнения до квадрата, который широко использовал арабский математик Аль-Хорезми, живший в 8 веке нашей эры. Пусть имеется такое квадратное уравнение:

Сразу же мы построили квадрат со стороной х. Теперь необходимо коэффициент при х разделить на 4 и отложить по сторонам квадрата соответствующие прямоугольники:

Теперь еще одно построение: дополним нашу фигуру до квадрата и посчитаем площади двумя способами:

Получается точь-в-точь как при решении через дискриминант. Можете проверить

Больше интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"

Проблемы эгоистов⁠ ⁠

Представьте себя на месте чиновника, который отвечает за дороги в регионе. И у вас есть проблемный участок - это связь между городом A и B. Есть две дороги - верхняя и нижняя. На первом участке верхней дороги есть ограничение скорости, на максимальной допустимой скорости этот участок можно проехать за 2 часа, после этого идет участок без ограничения скорости, но зато там бывают пробки, на нижнем участке все с точностью до наоборот.

Каждое утро из города A в город B едет одно и тоже количество людей. Каждый человек сам выбирает где ему ехать, он может поехать по верхней дороге и тогда его путь займет 3+y часа, где y - доля людей, которые выбрали верхнюю дорогу, для нижней дороги путь займет 3+x часа, где x - доля людей, которые выбрали нижнюю дорогу (например, если вся люди выбрали верхнюю дорогу, то путь по ней займет 4 часа, а по нижней - 2 часа).

Люди имеют доступ в интернет, а поэтому знают о загруженности дорог, выбирая наиболее свободную. Несложно понять, что тогда люди будут затрачивать на дорогу 3,5 часа. (Человек выбирает менее загруженную дорогу, на ней меньше половины, а тогда время 3+x, где x-меньше 0,5)

И тут к вам приходит помощник, который придумал план: соединить мостом участки, где происходит смена скоростного режима, причем, время пересечения моста занимает всего несколько секунд.

И тут перед вами стоит выбор, строить его или нет. Какое решение вы примете? (после картинки ответ)

Давайте теперь вернемся на место обычного человека. Если дорогу построят, то как нам лучше всего ехать? Самый хороший маршрут, который мы только можем себе представить: поехать по нижней дороге до моста, свернуть на верхнюю дорогу и уже по ней приехать в город. B. Этот маршрут займет 2+x+y часа, звучит лучше, чем 3+x или 3+y, учитывая, что x и y - это доли. Но если все выберут этот маршрут, а все его и выберут, так как он оптимальный, то из-за пробок время поездки займет 4 часа. Мы построили дорогу, а среднее время в пути увеличилось.

Описаная ситуация является парадоксом Браеса.

Реддит поделился своими самыми любимыми парадоксами⁠ ⁠

Друзья, в сегодняшнем переводе пользователи Реддита делятся логическими парадоксами, от которых ломается мозг и валит пар из ушей! Поехали:

«Мне не нравится это место: туда никто не ходит потому, что там всегда слишком много народа!»

– Да вообще никто не ездит по Нью-Йорку на авто - там постоянные пробки

Чем больше ты учишься, тем больше понимаешь, насколько мало ты знаешь. Каждый раз, когда ты изучаешь объект глубже, ты сталкиваешься с большим количеством вопросов, чем ответов.

Для того, чтобы устроиться на работу, нужен опыт работы, а чтобы его получить нужно устроиться на работу.

– Видимо, именно поэтому столь популярны неоплачиваемые стажировки. Ты хочешь работать в этой сфере, но мы не можем тебя взять без опыта, поэтому поработай бесплатно. Может быть, потом когда-нибудь мы подумаем, чтобы тебе заплатить.

– Потому что миру нужны рабы! лол

Когда я учился в художественной школе, нам дали задание нарисовать «парадокс» или «оксюморон». Я ничего не нарисовал. Сдал чистый холст с подписью: «Выполненное задание». Получил высшую отметку.

– Один из моих друзей просто изобразил прямую линию. Как он сказал: «Это моя картина, вид сбоку». Но преподша не оценила)

Пилоты могут покинуть боевое дежурство по причине психологической непригодности, но ни один из них, покидая дежурство, не доказывает, что он вменяем.

Представьте, что вы принимаете на Новый год решение не принимать на Новый год вообще никаких решений.

Сдержите ли вы своё слово.

Родительский парадокс: дни и ночи трудные и длинные, а вот годы пролетают незаметно.

– Знаю, что это жуткое клише, сам их не переношу, но это чистая правда. Кажется, что каждый день длится 749574 часов (особенно когда все безвылазно сидят дома), но есть полное ощущение того, что мой старший ребёнок родился буквально только что. Осознание того, что прошло уже 13 лет выносит мне мозг.

Я пришёл в этот тред, чтобы написать про свой любимый парадокс и найти ещё парадоксы, о которых не знал раньше, а значит, тот парадокс, о котором хотел написать, уже не является моим любимым парадоксом.

Если бы в будущем изобрели путешествия во времени, то мы уже сейчас умели бы это делать.

«Парадокс кучи»: в какой именно момент куча из миллионов песчинок перестаёт быть кучей, если вы убираете из неё по одной песчинке?

– Мммм. примерно 7 песчинок

– О, чёрт! Ты только что разрешил философскую проблему.

Статистические парадоксы - это очень круто. Примером может служить парадокс Симпсона, когда статистическая тенденция меняется на противоположную при разделении населения на различные группы:

- Закон о гражданских правах 1964 года был поддержан 61% демократов и 80% республиканцев. Тем не менее, вероятность того, что демократы северных и южных штатов поддержат этот закон, была выше, чем аналогичный показатель у их коллег-республиканцев.

- Убийца-белый во Флориде с большей вероятностью будет приговорен к смертной казни, чем убийца-афроамериканец. Однако те афроамериканцы, жертвами которых становились белые, с большей вероятностью будут казнены, чем афроамериканцы, убивавшие чёрных.

- Медианная заработная плата в США за период с 2000 по 2013 гг. поднялась на 1%, однако заработные платы по каждой образовательной подгруппе (исключённые из школ, выпускники школ, выпускники колледжей и других высших учебных заведений) снижались за аналогичный период.

- Средние показатели бейсболиста Дэвида Джастиса были выше, чем у Дерека Джетера в 1995 и 1996 годах, но не за два года вместе взятых.

Если вы замените рукоять топора вашего деда спустя год после того, как вы заменили на нём сам топор, то он по-прежнему останется топором вашего деда.

Вернуться назад во времени -> убить Гитлера в детском возрасте

Убить Гитлера в детском возрасте -> остановить вторую мировую войну

Остановить вторую мировую войну -> не будет второй мировой войны

Не будет второй мировой войны - > нет необходимости возвращаться назад во времени

Нет необходимости возвращаться назад во времени - > никто не убьёт Гитлера

Никто не убьёт Гитлера - > вторая мировая война произойдёт

Вторая мировая война произойдёт - > появится желание остановить вторую мировую

Появится желание остановить вторую мировую - > вернуться во времени назад

Парадокс движения Зенона. Если вы выстрелите из лука, в какой-то момент стрела окажется на пол пути к цели, потом на половине оставшейся половины и т.д. Поскольку любое оставшееся расстояние, сокращенное пополам, никогда не может быть равно нулю, стрела никогда не достигнет цели.

Друзья, на сегодня всё! Но уже совсем скоро выйдет перевод про исторические NSFW факты! Будет очень интересно! Не пропустите!

Больше наших переводов в telegram-канале: t.me/ofigenno

Продолжение следует.

P.S. Администрация Пикабу проводит небольшой эксперимент по поддержке авторов. Если вам было интересно и хочется выразить материальное спасибо автору (то есть мне), то вот одобренные модераторами: кошелёк – Яндекс.Деньги и карта Сбер – 4276 8060 3242 2072 . Безусловно, это дело добровольное и на ваше личное усмотрение, но признаюсь, было бы приятно)

Парадокс капли принца Руперта⁠ ⁠

Капля принца Руперта — стеклянный артефакт, обладающий двумя противоположными друг другу свойствами: он чрезвычайно прочный и чрезвычайно хрупкий одновременно.

Капля похожа на головастика с луковицеобразной головкой и длинным, тонким хвостом. Головка настолько прочная, что способна выдержать удар молотка, а пули, выпущенные в неё в упор, разрушаются при ударе — да, именно пули, а не стекло. Тем не менее, если вы щёлкните пальцем по хвосту капли, это превратит всю каплю, включая прочную стеклянную головку, в порошок.

Капли принца Руперта (также известные как «батавские слёзки» и «болонские склянки») образуются путём попадания жидкого стекла в холодную воду, в результате чего внешняя поверхность капли затвердевает немедленно, а стекло внутри неё по-прежнему остаётся расплавленным. Охлаждённый внешний слой пытается сократиться, в то время как расплавленный внутренний слой пытается расшириться. В процессе кристаллизации противоположные силы, действующие на головку капли, делают её необычайно прочной и хрупкой одновременно. Она похожа на каменную арку — конструкция находится под чрезвычайным напряжением, которое является именно тем, что не позволяет ей развалиться на части. Но если вы уберёте краеугольный камень, арка рухнет.

Капли принца Руперта впервые были обнаружены в Германии в 1640-х годах. Первоначально они были созданы стеклоделами из Мекленбурга (Северная Германия) и продавались в качестве игрушек и диковинок по всей Европе, где их называли по-разному: например, «прусскими слёзками» или «голландскими слёзками». Стеклоделы тщательно охраняли свой секрет, что привело к возникновению целого ряда теорий относительно того, как производились капли.

Учёный-любитель из Англии, герцогиня Маргарет Кавендиш, после нескольких недель экспериментов с десятками образцов в своей лаборатории, пришла к выводу, что в головку капли вводили небольшое количество летучего материала, который бурно реагировал на контакт с воздухом.

В 1660 году принц Руперт Пфальцский, герцог Камберлендский и один из основателей Королевского общества, привёз с собой несколько стеклянных капель, чтобы продемонстрировать их учёным и королю Карлу II. Как вы, наверное, уже догадались, они были названы в его честь.

Роберт Гук, который отвечал за проведение экспериментов перед членами общества, сделал важный прорыв, предположив, что именно охлаждение стекла после погружения в воду вызывало странное свойство капель, хотя более полное понимание механики стало доступным лишь спустя три столетия.

Лишь в 1994 году учёные из Университета Пердью и Кембриджского университета, используя высокоскоростную кадрирующую съёмку, чтобы пронаблюдать процесс разрушения капли, пришли к выводу, что поверхность каждой капли испытывает высокую компрессионную нагрузку, в то время как внутренняя часть находится под влиянием сил высокого напряжения — в состоянии неравномерного равновесия, которое можно легко нарушить, сломав хвост. Эксперименты показывают, что луковичная головка способна выдержать силу сжатия до 7000 килограмм на сантиметр квадратный. Также было подсчитано, что разрушительные трещины распространяются по хвосту и головке с поразительной скоростью — 6500 километров в час.

В дальнейшем, сотрудничая с Таллинским технологическим университетом в Эстонии, исследователи обнаружили, что для того чтобы разбить каплю, нужно создать трещину, способную проникнуть в зону её внутреннего напряжения. Наружный компрессионный слой очень тонкий: он составляет всего около 10 процентов диаметра головки капли, однако обладает невероятно высокой прочностью. Поскольку трещины на поверхности, как правило, разрастаются параллельно поверхности, они не могут попасть в зону напряжения. Но если хвост треснет, трещины попадут в зону напряжения и высвободят всю накопленную энергию, заставив каплю разрушиться.

Закалённое стекло, которое, как правило, используют при производстве автомобилей и мобильных телефонов, делают по такому же принципу. Его быстро охлаждают в расплавленном виде при помощи холодного воздуха, создавая внутреннее напряжение, которое позволяет поверхности оставаться сжатой всё время. Сжатие предотвращает разрастание трещин, но когда стекло окончательно разбивается, оно рассыпается на тысячи мелких кусочков. Вот почему лобовые стёкла автомобилей при ударе разбиваются на мелкие кусочки, однако они покрыты специальным слоем клея, который предотвращает попадание частиц в салон автомобиля и нанесение травм пассажирам.

«Растягивающее напряжение — это то, что обычно приводит к разрушению материалов способом, аналогичным разрыву листа бумаги пополам, — говорит Коушик Вишванатан из Университета Пердью. — Но если вы измените растягивающее напряжение на сжимающее, тогда вы затрудните разрастание трещин, и это именно то, что происходит в головке капли принца Руперта».

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 2.⁠ ⁠

Картинка лучше всего отражает то, как у некоторых бомбило в комментариях к предыдущему посту (https://pikabu.ru/story/matematicheskie_faktyi_v_kotoryie_sl. ). Люди всерьёз обвиняли все эти факты в абстракции. Математика и есть абстракция в абсолюте :) В жизни она начинает "работать" только в других науках. Когда Лобачевский взял и поменял аксиомы в геометрии создав свою сюрреалистическую теорию все крутили у виска, спустя годы его формулы и теоремы внезапно нашли прикладное применение. Но с тем же успехом могли и не найти применение, но не думаю, что Николай Иванович сильно расстроился бы. А теперь к нашим математическим "да ладно?!".

Казалось бы что может быть более тривиального, чем сложение двух единиц. Но не тут-то было. Существует целая книга, посвящённая доказательству данного выражения. Появилась в начале прошлого века и является одним из наиболее влиятельных трудов по логике и математике за всю историю человечества. Что примечательно, математики её написавшие британские :)

2. Причешем ёжика

Есть строгое математическое доказательство того, что на Земле всегда есть место, где не дует ветер. Слышали ведь про око тайфуна, штиль, вот это вот всё. В англоязычной литературе безвкусно теорему назвали теоремой о волосатом шаре, у нас же она фигурирует как теорема о причесывании ежа. Когда ёж свернулся в клубок, его нельзя причесать так, что бы ни одна иголочка не торчала.

3. Гомеопатия в математике

Следующее неравенство думаю для всех очевидно.

Если добавлять девятки после точки, ничего не меняется.

Вроде очевидно, что как много не было бы девяток - такое число всегда будет строго меньше единицы, но внезапно получаем равенство.

Девятка в скобках, это девятка в периоде, т.е. повторяется бесконечно много раз. Помните когда вы делили в калькуляторах 1 на 3 и получали кучу троек после запятой? Вот это поможет нам доказать наше равенство.

4. Математический ад.

Помните как в школе решали квадратные уравнения? У нас были готовые формулы, в которые мы старательно вписывали циферки. Так вот существуют такие же формулы для уравнений 3-го и 4-го порядка. Причём выглядят такие красавцы более чем мерзопакостно: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Quartic_.

А вот для уравнений более высокого порядка таких формул нет и в принципе быть не может.

5. Парадокс Банах-Тарски

Поднимем планку абстракции на новый уровень. С точки зрения математики можно взять апельсин, разделать его на части ножом, а затем собрать из этих частей два абсолютно таких же апельсина, что и исходный. К сожалению для любителей цитрусовых такое можно провернуть только с апельсинами особой структуры, в нашей вселенной не встречающейся.

6. Больше, ещё больше!

Дорогой мой читатель, браво! Снимаю шляпу перед тобой. Ты дочитал практически до конца не самого простого для восприятия поста. Не всё же котиков разглядывать. А теперь попробуй без гугла назвать самое большое число, которое знаешь 100500? миллиард? секстиллион? дециллион? (последнее честно подсмотрел в википедии :) ). У нас же есть бесконечность, значит и верхней границы для чисел нет. Однако, нам не нужны все цифры, достаточно только числа Грэма. Это самое большое число на настоящий момент, которое потребовалось бы при каких-либо расчетах, математических, астрономических, физических.

Очень рекомендую прочитать статью, объясняющее это число "на пальцах". Прямые ссылки на этот ресурс на пикабу запрещены, поэтому оставляю ссылку на статью википедии, в конце которой ссылка присутствует: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE.

Дабы уравновесить формулы в посте добавим напоследок ещё котанов, теперь моих.

Десять наиболее интересных парадоксов⁠ ⁠

1. Парадокс всемогущества

Это довольно известный парадокс, который звучит следующим образом: «Попросите всемогущего человека создать камень, который он сам не сможет поднять». Если создать такой камень не получится, значит человек не всемогущ, а если получится — то человек утратит своё всемогущество.

Ответов тут может быть несколько. Возможно, абсолютного всемогущества попросту не существует. Также можно сказать, что всемогущее существо не ограниченно законами логики, поэтому может делать всё, что захочет.

2. Парадокс черепахи

Этот парадокс был придуман древнегреческим философом Зеноном. Суть его такова: предположим, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи и находится за 1000 шагов от неё. Пока Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха проползёт ещё 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползёт ещё 10 шагов, и так до бесконечности. В итоге Ахиллес так и не догонит черепаху. Естественно все мы понимаем, что в реальной жизни он бы её наверняка и догнал, и перегнал.

Парадокс можно объяснить тем, что в реальности пространство и время нельзя делить бесконечно.

3. Парадокс убитого дедушки

Данный парадокс придумал французский писателеь-фантаст Рене Баржавель. Допустим, что человек создал машину времени, отправился в прошлое и убил там своего биологического деда в раннем детстве. В итоге один из родителей путешественника не был рождён. Соответственно и сам путешественник тоже не появился на свет. А это значит, что в итоге он не отправился в прошлое и не убил там своего деда и остался жив. Вариантов решения парадокса опять-таки несколько. Может быть, переместиться в прошлое попросту невозможно. А может быть, путешественник просто не сможет его изменить. Также есть мнение, что, отправившись в прошлое, путешественник создаст ещё одну альтернативную реальность, в которой он никогда не будет рождён.

4. Корабль Тесея

Согласно древнегреческому мифу, жители Афин долгое время хранили корабль, на котором Тесей вернулся с острова Крит. Со временем корабль начал гнить, поэтому в нём постепенно начали менять доски. В определённый момент все доски корабля были заменены на новые. В итоге возник вполне закономерный вопрос: «Тот ли это ещё корабль или уже совсем другой?» Помимо этого, появился ещё один вопрос: «Если из старых досок собрать ещё один такой-же корабль, то какой из них будет настоящим?»

В современной трактовке этот парадокс звучит так: «Если в исходном объекте заменить постепенно все составные части, останется ли он тем-же объектом?»

Ответ может быть таким: любой предмет может быть «тем-же» количественно и качественно. Это значит, что после смены досок корабль Тесея количественно будет тем-же кораблём, а вот качественно — уже другим.

5. Парадокс кучи

Предположим, у нас есть куча зёрен. Если из неё убирать по одному зерну, то когда она перестанет быть кучей? будет ли она кучей, если в ней останется только одно зерно? Объясняется парадокс тем, что у термина «куча» нет точного определения.

6. Парадокс Абилина

Парадокс звучит следующим образом: «В один жаркий вечер некая семья играла на крыльце дома в домино, пока тесть не предложил поехать отдохнуть в Абилин. Поездка обещала быть долгой и утомительной. Тем не менее, жена сразу же согласилась ехать, сказав: «Неплохая идея!» Муж никуда ехать не хотел, однако решил подстроиться под остальных и сказал, что ему эта идея тоже кажется весьма неплохой. Наконец, тёща тоже согласилась на поездку. Дорога до Абилина оказалась весьма утомительной и жаркой, так что отдых не удался. Через несколько часов семья приехала обратно домой. Тёща сказала, что поездка ей не понравилась и поехала она только ради остальных. Муж сказал, что он тоже рад был бы не ехать, но согласился на поездку, чтобы не портить остальным настроение. Жена, в свою очередь, сказала, что и ей никуда не хотелось ехать, она просто хотела подстроиться под всех остальных. Наконец, сам тесть сказал, что предложил поездку только потому, что окружающая обстановка показалась ему скучноватой. Таким образом, никто из них не хотел ехать в Абилин и согласился только ради остальных».

Данный парадокс является типичным примером группового мышления.

7. Парадокс Греллинга

Разделим все прилагательные на две группы: автологические и гетерологические. Автологические прилагательные — это те, которые характеризуют сами себя. Например, прилагательное «многосложное» является многосложным, а прилагательное «русское» является русским.

Гетерологические прилагательные — это те, которые не характеризуют сами себя. Например, прилагательное «новое» не является новым, а прилагательное «немецкое» не является немецким.

Парадокс возникает в том случае, когда необходимо определить прилагательное «гетерологическое» к одной из двух групп. Если оно характеризует само себя, то является автологическим, а не гетерологическим.

8. Парадокс мэров

В одной стране вышел указ «Мэры всех городов должны проживать не в своём городе, а специальном городе для мэров». Возникает вопрос: «Где должен жить мэр города мэров?»

9. Парадокс неожиданной казни

Одному заключённому сказали: «Вас казнят в полдень следующей среды. Это будет неожиданностью для вас.» Заключённый приходит к выводу, что раз он знает точное время казни, то казнь никак не сможет стать для него неожиданной, а значит его не смогут казнить. В полдень следующей среды за ним действительно приходит палач и его казнят. И казнь действительно ставится неожиданностью для заключённого.

10. Парадокс Эватла

Это древняя логическая задача, суть которой такова: «Некий учитель Протагор взял к себе в ученики Эватла и начал обучать его судебному делу. Эватл пообещал оплатить всё обучение как только выиграет своё первое дело. Однако после обучения Эватл не спешил работать. Тогда Протагор подал на него в суд. В итоге судья так и не смог вынести какое-либо решение, ведь если Эватл выиграет это дело, то он обязан будет отдать деньги Протагору. Таким образом он на самом деле проиграет, а значит, ему не нужно будет оплачивать свою учёбу Протагору. И так до бесконечности