Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Пусть в прямоугольной системе координат алгебраическая линия второго порядка задана уравнением (3.34):
Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.
1. Если в уравнении имеется член с произведением неизвестных , то делаем поворот системы координат:
на угол , удовлетворяющий равенству . При этом получим "почти" приведенное уравнение линии второго порядка:
Если , переходим к пункту 2, поворот системы координат делать не нужно, так как исходное уравнение имеет "почти" приведенный вид.
2. Выполняем параллельный перенос системы координат:
а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 3;
б) если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например, если в уравнении и ,то выполняем преобразования:
а затем замену неизвестных , после которой в уравнении не будет линейного члена с неизвестной ;
в) если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид
то, выполняя замену неизвестных , получаем уравнение без свободного члена:
3. Полученное в результате упрощений (пункт 2) уравнение имеет "почти" канонический вид. Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения при необходимости применяются следующие преобразования:
а) переименование координатных осей: ;
б) изменение направления координатной оси, например оси абсцисс: ;
в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;
г) перенос членов из одной части уравнения в другую.
В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.
Пример 3.19. В прямоугольной системе координат заданы уравнения алгебраических линий второго порядка:
Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат.
а) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты
1. Поскольку , поворот системы координат делать не нужно.
2. В уравнении имеются квадраты обеих неизвестных. Преобразуем левую часть заданного уравнения, выделяя полные квадраты:
Следовательно, уравнение можно записать в виде . Делая замену или, выражая старые координаты через новые: , получаем — каноническое уравнение пары пересекающихся прямых (см. уравнение (5) в теореме 3.3 при Решение б)
б) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты
1. Поскольку в заданном уравнении нет произведения неизвестных , то уравнение имеет "почти" приведенный вид.
2. Выделяя полный квадрат по неизвестной , получаем
Делая замену или, выражая старые координаты через новые: получаем — каноническое уравнение параболы (см. уравнение (6) в теореме 3.3 при ).
в) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты
1. В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат. Величину угла поворота находим по формуле (3.40):
то есть , учитывая ограничение . При повороте системы координат на угол старые координаты выражаются через новые по формулам (3.35):
Подставляя их в левую часть заданного уравнения, получаем
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
2. Так как линейные члены отсутствуют, то параллельный перенос системы координат делать не нужно.
3. Переносим свободный член в правую часть и делим обе части уравнения на (-8):
Осталось поменять названия координатных осей, т.е. сделать замену после которой получаем — каноническое уравнение гиперболы (см. уравнение (4) в теореме 3.3 при ). Найдем формулы перехода от исходной системы координат к канонической . Подставляя в формулы поворота на угол , получаем
г) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты
1. В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат. Величину угла поворота находим по формуле (3.40):
Так как , то из уравнения находим тангенс искомого угла:
Ограничению удовлетворяет острый угол . Вычисляем и и делаем замену:
соответствующую повороту (3.35) на угол . Получаем уравнение
Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
Получили приведенное уравнение (III).
2. "Уничтожаем" линейные члены, выделяя полные квадраты:
После замены или, выражая старые координаты через новые: получаем .
3. Переносим свободный член в правую часть и делим обе части уравнения на 100:
Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса (см. уравнение (1) в теореме 3.3 при и ). Однако, его коэффициенты не удовлетворяют неравенству . Поэтому необходимо переименовать координатные оси, т.е. сделать замену после которой получаем каноническое уравнение эллипса .
Формулы перехода от исходной системы координат к канонической получаем как композицию преобразований прямоугольных координат,
выражения параллельного переноса а затем — отражения Первая подстановка дает: