Стереометрия. Задача 14. Призмы и пирамиды.

Задача 1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и .

Призма и секущая плоскость

Так как прямые и не принадлежат одной плоскости, то найдем прямую, которая бы лежала в одной плоскости с прямой . Такой прямой может послужить , так как она параллельна . То есть ищем косинус угла между прямыми и – угла . Обе упомянутые прямые принадлежат плоскости . Если повернуть картинку, то видна становится форма сечения и нужный угол:

Найдем косинус угла по теореме косинусов из треугольника . Длина , длина , так как боковые грани призмы – квадраты со стороной 1. Тогда:

Задача 2. В единичном кубе найдите тангенс угла между прямой и плоскостью .

Чертеж к задаче

Так как параллельна , то будем искать угол , где Н – середина .

Треугольник – прямоугольный. Длина отрезка равна половине диагонали грани куба, длина диагонали квадратной грани со стороной 1 – , . Искомый угол – .

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Чертеж к задаче

Проведем прямую , параллельную , через центр основания пирамиды. Так как грань пирамиды – правильный треугольник, то угол между высотой грани, или апофемой , и прямой как раз и будет искомым. Треугольник – прямоугольный, .

– высота правильного треугольника, она равна , где – длина стороны правильного треугольника, у нас 1. Но если формулу эту вы не помните – то можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника . Искомый косинус:

Задача 4. В правильной шестиугольной пирамиде , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания 1, найдите косинус угла между прямой и плоскостью .

Правильная шестиугольная пирамида

Угол, который нам нужен, это, по сути, двугранный угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью грани . Заменим его линейным углом между апофемой грани и прямой , принадлежащей основанию и параллельной . Отрезок – высота пирамиды. Нужный нам угол будем искать в прямоугольном треугольнике .

Плоскость и ее проекция

Так как проекция грани на основание, треугольник – правильный, то – его высота – равна , как высота правильного треугольника со стороной 1. найдем по теореме Пифагора для треугольника :

Задача 5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми и .

Чертеж к задаче

Перенесем параллельно самой себе так, чтобы отрезок такой же длины и с таким же наклоном проходил через точку . Также потребуется продлить до пересечения с нашей перенесенной прямой. Пересекутся два данных отрезка в точке К, лежащей в плоскости основания призмы. Для наглядности я залила зеленым цветом плоскость получившегося треугольника .

Искомый угол – – хорошо виден на следующем рисунке в желтом треугольнике.

Найти данный угол предлагаю по теореме косинусов, а для этого потребуется знать все стороны треугольника . Поэтому потребуется сначала решить треугольник . Рассмотрим все с другой точки зрения:

В треугольнике найдем . Угол при его вершине равен , длина , тогда по теореме косинусов:

Теперь в зеленом треугольнике найдем :

Длина стороны , так как это диагональ квадрата со стороной 1.

Составляем теорему косинусов для желтого треугольника :

– можно даже не решать дальше, понятно, что равенство будет выполняться лишь при , или

Задача 6. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольнгой пирамиды равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

А) Постройте прямую пересечения плоскости и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.

Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .

Построить обе плоскости совсем несложно, обе они и линия их пересечения изображены на рисунке.

Правильная четырехугольная пирамида – чертеж к задаче

Чтобы найти площадь сечения, нужно определить основание треугольника и высоту пирамиды (и сечения) .

Найдем площадь основания, для этого вычтем из общей площади поверхности площадь боковой:

Так как пирамида правильная и в ее основании – квадрат, то сторона этого квадрата равна 6 – это сторона основания пирамиды. Тогда диагональ квадрата равна – это длина .

Разделим площадь боковой поверхности на 4 грани: площадь одной грани равна 27. Высота грани тогда (апофема):

Длина отрезка равна половине длины ребра основания, то есть 3. Тогда .

Находим, наконец, площадь сечения:

Задача 7. Дана правильная четырехугольная пирамида , ребра основания которой равны . Точка L – середина ребра МВ. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен .

a) Пусть О – центр основания пирамиды, докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида – чертеж

а) Так как пирамида правильная, то плоскость перпендикулярна плоскости основания, а прямая принадлежит плоскости , следовательно, она перпендикулярна прямой , принадлежащей плоскости основания.

б) Так как – средняя линия треугольника , то она параллельна . Поэтому данный нам тангенс – это и тангенс угла . . Поскольку , то вдвое больше: , а , откуда высота пирамиды .