Свойства пределов последовательностей, связанных неравенствами

Пусть последовательность < xn > имеет конечный предел a : . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b ( xn ≤ b ) . Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b ( a ≤ b ) . Доказательство ⇓

Следствие о пределе последовательности, ограниченной с двух сторон

Пусть последовательность < xn > имеет конечный предел a : . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) b ≤ xn ≤ c . Тогда и предел a также принадлежит этому интервалу: b ≤ a ≤ c .

Это свойство является следствием теоремы 1.

Следствие о пределах последовательностей, связанных неравенствами

Пусть последовательности < xn > и < yn > имеют конечные пределы a и b : и . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn . Тогда a ≤ b . Доказательство ⇓

Аналогичное свойство имеется и для бесконечно больших последовательностей.

Свойство неравенств бесконечно больших последовательностей Если и, начиная с некоторого номера, , то . Доказательство В частности, если, начиная с некоторого номера, , то если , то ; если , то .

Теорема о промежуточной последовательности

Пусть последовательности < xn > и < zn > сходятся к одному конечному числу a : . И пусть элементы последовательности < yn > , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn , то есть находятся в промежутке между элементами последовательностей < xn > и < zn > . Тогда эта последовательность также сходится к числу a : . Доказательство, Примеры.

Теорема о последовательностях, пределы которых связаны неравенством

Пусть последовательности < xn > и < yn > имеют конечные пределы a и b : и . Если a < b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn . Доказательство ⇓

Доказательство свойств

Все свойства ⇑ Пусть последовательность < xn > имеет конечный предел a : . И пусть элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b ( xn ≤ b ) . Тогда и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b ( a ≤ b ) .

1) Рассмотрим случай .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что, для любого положительного числа ε > 0 , выполняется система неравенств: (1) .

По условию теоремы, начиная с некоторого номера, . Предположим противное, что . Тогда – положительное число. Подставим в (1) : . Раскроем знак модуля и преобразуем: ; .

То есть мы получили, что для всех номеров n , больших чем , должно выполняться неравенство . Но это противоречит исходному утверждению, что начиная с некоторого номера, .

2) Рассмотрим случай .

Можно построить доказательство, как и для первого случая, но мы воспользуемся полученным выше результатом. Умножим неравенство на –1 : . Рассмотрим последовательность . Ее элементы, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству . На основании арифметических свойств, последовательность имеет предел . Тогда, на основании первой части этой теоремы, . Или ; .

Если элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют строгому неравенству , то предел a последовательности все равно удовлетворяет нестрогому неравенству .

Например, члены последовательности больше нуля: . Но .

Все свойства ⇑ Пусть последовательности < xn > и < yn > имеют конечные пределы a и b : и . И пусть элементы этих последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn . Тогда a ≤ b .

Для доказательства рассмотрим последовательность с общим членом . Тогда, начиная с некоторого номера, . На основании теоремы 1: . На основании арифметических свойств пределов: . Тогда ; .

Все свойства ⇑ Пусть последовательности < xn > и < yn > имеют конечные пределы a и b : и . Если a < b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство xn < yn .

Рассмотрим последовательность с элементами . Согласно арифметическим свойствам, эта последовательность сходится, и ее предел равен . Это означает, что имеется функция такая, что для любого положительного числа ε > 0 выполняется система неравенств: (5.1) .

По условию . Подставим в (5.1) и введем обозначение . Тогда при имеем: ; ; . Поскольку , то .