Формула n-ого члена геометрической прогрессии

применение этой формулы и свойства на примерах и задачах.

рассмотреть примеры геометрической прогрессии; вывести формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии; выработать навыки её применения.

Развивать логическое мышление, память, исследовательские качества учащихся; развивать рефлексивные умения через проведение анализа результатов урока.

Развивать речь как показатель интеллектуального и общего развития обучающегося; воспитывать аккуратность, точность; развивать коммуникативные качества; показать связь алгебры с действительной жизнью.

УМК: Алгебра.9класс.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ (А.Г.Мордкович и др.); под редакцией А.Г.Мордковича.-11-е изд., стер.-М.:Мнемозина, 2009.-255 с.: ил.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Организационный момент (1 мин)

Учитель приветствует детей.

Устная работа.(9 мин)

Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 25; 9 и 36; 49 и 81; 12 и 25.

Решите уравнение: b 2 =3, b 2 =-3, b 3 =-27, x 6 =164.

Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На восьмые сутки? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)

Мы с вами видим, что полученная нами последовательность является. геометрической прогрессией. Давайте вспомним ее определение.

Дается определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Вопрос: - Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на 12 ).Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q.

Проверка домашнего задания (5 мин)

Изучение нового материала.(10 мин)

Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты каждая из них делится на две. Сколько бактерий появилось на 5-ой минуте? (см. рис.1)

Сколько их будет через три минуты?

На 1-ой минуте — 2

на 2-ой минуте — 4

на 3-ей минуте — 8

на 4-ой минуте — 16

на 5-ой минуте — 32

на 6-ой минуте — 64

на 7-ой минуте — 128

на 8-ой минуте — 256

на 9-ой минуте — 512

на 10-ой минуте — 1024

на 11-ой минуте — 2048

на 12-ой минуте — 4096

на 13-ой минуте — 8192

на 14-ой минуте — 16384

Сложно считать, не так ли?

А если я вас попрошу просчитать сколько бактерий будет через 1440 минут?

Вам придется считать очень долго, а это не рационально!

Вывод: следовательно необходима формула для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию b1; b2; b3. bn, со знаменателем q. Имеем:

Нетрудно догадаться что для любого n справедливо неравенство

bn = b1 q n - 1

Это n-ого члена геометрической прогрессии.

Попробуем проверить справедливость этой формулы для уже известной нам задачи с бактериями. Посчитаем 5-ый член последовательности

bn = b1 q n - 1 = b5 = b1 q 5-1 = 1·2 4 = 1·16=16.

bn = b1 q n - 1 = b11 = b1 q 11-1 = 1·2 10 = 1·1024=1024.

Закрепление изученного материала: (10)

Физкультминутка (1 мин)

Подготовка к ОГЭ. (15 мин)

Домашнее задание: (1 мин.)

№ 17.10(в,г), 17.12(в,г), 17.14, 17.16

Подведение итогов урока (1 мин)

Задача №1

Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии у нас есть две формулы.a50 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии.d=a2-a1=-5-(-7)=2.Подставляем все в формулу:S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100Ответ: S50=2100

Задача №2

Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

d=a2-a1=3-1=2.Подставляем все в формулу:S60=60*(2*1+(60-1)*2)/2=30*(2+118)=30*120=3600Ответ: S60=3600

Задача №3

Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1=3, an+1=an+4. Найдите a10.

Зная, что an+1=an+4, т.е. a10=a9+4, можно,конечно, вычислить все первые 10 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.Есть способ проще:В арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d, нам неизвестна только d. Вычислить ее можно по формуле: d=an+1-anИспользуя эту формулу и условие задачи, мы видим, что d=4. Тогда:a10=a1+(10-1)4a10=3+9*4=39.Ответ: a10=39

Задача №4

Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1 = –128, bn+1=1/2*bn. Найдите b7.

Зная, что bn+1=1/2*bn, т.е. b7=1/2*b6, можно,конечно, вычислить все первые 7 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.Есть способ проще:В геометрической прогрессии bn=b1qn-1, нам неизвестна только q. Вычислить ее можно по формуле: bn+1/bn=qИспользуя эту формулу и условие задачи, мы видим, что q=1/2. Тогда:b7=b1(1/2)(7-1)b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.Ответ: b7=-2

Задача №5

Геометрическая прогрессия задана условием bn=62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов.

Чтобы найти сумму первых 4 членов данной геометрической прогрессии, воспользуемсяформулами. В нашем случае, удобней воспользоваться первой. Для этого необходимо узнать b1 - первый член прогрессии и q - знаменатель прогрессии.b1=62,5*21=125 (из условия задачи). А q=2.Тогда S4=125*(1-24)/(1-2)=125*(1-16)/(-1)=125*15=1875Ответ: S4=1875

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.bn=b1qn-1Тогда b2=b1q2-1=b1qПо условию:1) b1+b2=75b1+b1q=75b1(1+q)=752) b2+b3=150b1q+b1q2=150b1(q+q2)=150b1(q+1)q=150Подставляем из п. 1)75q=150 = q=2, тогда b1(1+2)=75 = b1=25b2=25*2=50b3=25*22=100Ответ: b1=25, b2=50, b3=100

Задача №7

Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1=64, bn+1=bn*1/2. Найдите b7.

В данном случае, вместо того, чтобы воспользоваться формулами для геометрической прогрессии, легче решить эту задачу "в лоб". Т.е. найти b2, b3, . b7.b1=64 (по условию).b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32b3=b2*1/2=32/2=16b4=16/2=8b5=8/2=4b6=4/2=2b7=2/2=1 Ответ: b7=1

№1. Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

№2. Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

№3. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1=3, an+1=an+4. Найдите a10.

№4. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1 = –128, bn+1=1/2*bn. Найдите b7.

№5. Геометрическая прогрессия задана условием bn=62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов.

№6. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

№7. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1=64, bn+1=bn*1/2. Найдите b7.

№1. Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

№2. Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

№3. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1=3, an+1=an+4. Найдите a10.

№4. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1 = –128, bn+1=1/2*bn. Найдите b7.

№5. Геометрическая прогрессия задана условием bn=62,5*2 n . Найдите сумму первых её 4 членов.

№6. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

№7. Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями: b1=64, bn+1=bn*1/2. Найдите b7.

Задача №3 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 1C5D03

Показать решение задачи

Дана арифметическая прогрессия: -6; -2; 2; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии у нас есть две формулы.a50 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии.d=a2-a1=-2-(-6)=4.Подставляем все в формулу:S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600Ответ: S50=4600

Задача №4 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - FD1ABB

Показать решение задачи

Дана арифметическая прогрессия: -1; 2; 5; … . Найдите сумму первых пятидесяти пяти её членов.

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии у нас есть две формулы.a55 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии.d=a2-a1=2-(-1)=3.Подставляем все в формулу:S55=55*(2*(-1)+(55-1)*3)/2=55*(-2+162)/2=55*80=4400Ответ: S55=4400

Задача №19 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 34D7F8

Показать решение задачи

Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

n-ый член арифметической прогрессии равен a1+(n-1)da1=20d=a2-a1=17-20=-3a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250Ответ: a91=-250

Задача №22 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4CBA5B

Показать решение задачи

Записаны первые три члена арифметической прогрессии: -4; 2; 8; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 81-м месте?

n-ый член арифметической прогрессии равен a1+(n-1)da1=-4d=a2-a1=2-(-4)=6a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476Ответ: a81=476

Задача №79 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4C12DC

Показать решение задачи

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -7; -5; -3; … Найдите её шестнадцатый член.

n-ый член арифметической прогрессии равен a1+(n-1)da1=-7 (по условию)a2=-5 (по условию)d=a2-a1=-5-(-7)=2a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23Ответ: a16=23

Задача №82 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4D6C7C

Показать решение задачи

Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен 2, b1=16. Найдите b4.

Каждый член геометрической прогрессии можно выразить через первый член.bn=b1qn-1Следовательно, b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128Ответ: 128

Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно увеличивался на 5%. Каким станет вклад через 8 лет, если вначале он был равен 1000 руб.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;…) Вопрос: Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Умножением предыдущего на 1,05).