Тема 13 геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осью и прямыми , :
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть,определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости некоторую кривую (её можно всегда при желании начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построитьПРАВИЛЬНО.
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначалалучше построить все прямые (если они есть) и толькопотом– параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строитьпоточечно. В данной задаче решение может выглядеть так. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке график функции расположеннад осью , поэтому:
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница .
13.2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
Физический смысл определенного интеграла в механике состоит в том, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: .
ПРАКТИКУМ 13
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 9 секунд от начала движения, равен …
Решение:Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 2 секунды от начала движения, равен …
Решение:Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: Тогда, используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболой и осьюОХ, равна …
Решение:Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осьюОХ): Тогда Площадь фигуры равна (кв. ед.).
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до шестой секунды движения, равен …
Решение:Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболой и осьюОХ, равна …
Решение:Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осьюОХ): Тогда Площадь фигуры равна (кв. ед.).
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен …
Решение:Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 13
ЗАДАНИЕ N 1Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболой и осьюОХ, равна …
ЗАДАНИЕ N 2Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 3Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 4Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 5Тема: Геометрические приложения определенного интегралаПлощадь фигуры, ограниченной параболой и осьюОХ, равна …
ЗАДАНИЕ N 6Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Физические приложения определенного интегралаСкорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения, равен …