Лабы / Лабораторные работы вариант №7 преподаватель Шниперов / Лабораторная работа №5 / Отчет по лабароторной работе №5
Выполнить в пакете MathCAD кусочно-линейную и сплайновую интерполяцию табличных данных Uвых= f(Uвх). Построить графики этих интерполяций на одной координатной сетке.
Аппроксимировать таблично заданную зависимость Uвых= f(Uвх) с помощью линейного и полиномиального регрессионного анализа. Построить сравнительный график.
2. ход выполнения работы
2.1. Выполнение кусочно-линейной и сплайновой интерполяции табличных данных Uвых = f(Uвх)
Исходные данные для выполнения задания:
Таблица 1. Исходные данные для выполнения задания
Из исходных значений создадим две матрицы входного и выходного напряжений (Uвх и Uвых), воспользовавшись кнопкой «Insert Matrix or Vector».
Рисунок 1. Матрицы входного и выходного напряжений
Зададим функцию для кусочно-линейной интерполяции табличных данных. Присвоим ей имя F_inter(x) и запишем полностью функцию:
«F_inter(x):=linterp(Ux,Uy,x)»
Теперь займемся заданием сплайновой интерполяции. Для начала зададим вектор вторых производных Us, используя возвращение вектора вторых производных Us при приближении в опорных точках к кубическому полиному:
«Us:=cspline(Ux,Uy)»
Теперь зададим функцию для выполнения сплайновой интерполяции. Присвоим ей имя H_inter(x) и запишем следующее:
«H_inter(x):=interp(Us,Ux,Uy,x)»
Последним шагом зададим ранжировку значений x для получения требуемого результата:
«x:=0,1..100»
Теперь изобразим графики кусочно-линейной и сплайновой интерполяций на одном общем графике:
Рисунок 2. Графики кусочно-линейной и сплайновой интерполяций
Глядя на оба графика, можно прийти к выводу, что сплайновая и кусочно-линейная интерполяции в данном случае абсолютно равноправны и дают одинаковые результаты аппроксимации табличной зависимости, так как на некоторых участках графика сплайновая и кусочно-линейная интерполяция совпадают. Нельзя сказать, что здесь имеет преимущество какой-то один вид интерполяции над другим.
2.2. Аппроксимация таблично заданной зависимости Uвых = f(Uвх) с помощью линейного и полиномиального регрессионного анализа
Исходные данные для выполнения задания:
Таблица 2. Исходные данные для выполнения задания
Из исходных значений создадим две матрицы входного и выходного напряжений (Uвх и Uвых), воспользовавшись кнопкой «Insert Matrix or Vector».
Рисунок 3. Матрицы входного и выходного напряжений
Далее нам нужны 2 коэффициента линии регрессии, которые будут применяться в функции регрессии: а и b. Теперь нам нужно возвратить значения этих параметров при помощи функций intercept (величина отрезка, отсекаемого линией регрессии на Oy) и slope (тангенс угла наклона линии регрессии). Запишем следующее:
«a:=intercept(Ux,Uy)»
«b:=slope(Ux,Uy)»
Зададим функцию регрессии:
«f(x):=a+b*x»
Рассчитаем коэффициент корреляции входного (Ux) и выходного (Uy) напряжений. Для этого воспользуемся функцией corr:
«corr(Ux,Uy)=» , после этого вычислится значение «0.058»
Коэффициент корреляции получился очень мал, это говорит о том, что в данном случае у нас случайный процесс, т.е. невозможно предсказать какое будет различие между входными и выходными напряжениями.
Вычислим значение коэффициентов линии регрессии. Для этого запишем «a=» и «b=». После этого появятся вычисленные значения «a=308.72» и «b=0.421»
Вычислим коэффициенты полинома регрессии k. Для этого воспользуемся функцией regress:
k:=regress(Ux,Uy,2), после чего запишем рядом «k=» и рядом появятся вычисленные коэффициенты полинома регрессии:
Рисунок 4. Вычисленные коэффициенты полинома регрессии
Теперь нам нужно записать сам аппроксимирующий полином. Обозначим его как F_2(x) и запишем полином:
F_2(x):=k3+k4*x+k5*x 2
Все готово, чтобы построить линейную и полиномиальную регрессию:
Рисунок 5. Графики линейной и полиномиальной регрессий (полином 2 степени)
Теперь остается проверить: какой из полиномов точнее выполняет аппроксимацию табличных значений напряжений. Построим полиномы 1, 3, 4 и 5 степеней:
Рисунок 6. График линейной и полиномиальной регрессии (полином 1 степени)
Рисунок 7. График линейной и полиномиальной регрессии (полином 3 степени)
Рисунок 8. График линейной и полиномиальной регрессии (полином 4 степени)
Рисунок 9. График линейной и полиномиальной регрессии (полином 5 степени)
Из полученных данных мы можем сделать вывод, что применение полинома 5 степени дает ложное представление о работе устройства, т.к. график имеет разрыв. Что касается полиномов 1, 3, 4 и 5 степени, то наиболее точное отражение работы устройства позволяет получить полином 3 степени, так как график аппроксимирующего полинома 3 степени располагается ближе к узловым точкам.