Алгебра – 11 класс. Степенные функции. Свойства. Графики

Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Свойства. Графики"

Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Ребята, на прошлом уроке мы узнали, как работать с числами с рациональным показателем степени. На этом уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный. Мы будем рассматривать функции вида: $y=x^$. Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени $\frac>1$. Пусть нам дана конкретная функция $y=x^2*5$. Согласно определению, которое мы дали на прошлом уроке: если $x≥0$, то есть область определения нашей функции - это луч $[0;+∞)$. Таблица значений.

Давайте, сравним три степенных функции: $y=x^2$; $y=x^$; $y=x^3$. Число 2,5 лежит между 2 и 3, тогда кажется, что и график нашей функции будет лежать между соответствующими графиками. Сравним значения функций при различных х. 1. Если $0<x 1$, то $x^4<x^5<x^6$, но и выполняется $\sqrt<\sqrt<\sqrt$ или $x^2<x^<x^3$. Давайте построим все три графика на одном рисунке: На первом рисунке построим графики для случая $0<x n)$ – кривая, проходящая через точки (0,0) и (1,1), и похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель, тем круче вверх уходит график функции.

Свойства функции $y=x^$, $(m>n)$: 1. $D(y)=[0;+∞)$. 2. Не является ни четной, ни нечетной. 3. Возрастает на $[0;+∞)$. 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу. 5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение равно нулю. 6. Непрерывна. 7. $E(f)=[0; +∞)$. 8. Выпукла вниз.

Перейдем к случаю, когда показателя степени - правильная дробь (то есть, когда числитель меньше знаменателя). График функции $y=x^$, $(m>n)$ похож на график функции $y=\sqrt[n]$. Давайте схематично изобразим наш график функции. Свойства функции $y=x^$, $0 0$ и r – любое рациональное число, то производная степенной функции $y=x^r$ вычисляется по формуле: $y'=r*x^$.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=x^$ на отрезке: а) $[1;16]$, б) $(2,10)$, в) на луче $[9;+∞)$. Решение. Показатель степени нашей функции положительный. Тогда посмотрев на свойства нашей функции мы видим, что она возрастает на всей области определения. Это значит, что она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах заданных отрезков (если она определена в этих точках). а)$y_=1^=1$; $y_=16^=(\sqrt)^5=4^5=1024$. б) Наибольшего и наименьшего значения функции на этом промежутке нет, так как нам дан открытый промежуток, и точки 0 и 4 этому промежутку не принадлежат. в) Наибольшего значения нет. $y_=9^=\sqrt=(\sqrt)^5=3^5=243$.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=\fracx^-\fracx^4$ на отрезке $[1;9]$. Решение. Ребята, вы помните как мы находили наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе? Правильно, мы использовали производную. Давайте решим наш пример и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения. 1. Найдем производную заданной функции: $y'=\frac*\fracx^-x^3=8x^-x^3=8\sqrt-x^3$. 2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки: $y'=8\sqrt-x^3=0$. $8*\sqrt=x^3$. $64x^3=x^6$. $x^6-64x^3=0$. $x^3(x^3-64)=0$. $x_1=0$ и $x_2=\sqrt[3]=4$. Заданному отрезку принадлежит только одно решение $x_2=4$. Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума: Ответ: $y_=-862,65$ при $x=9$; $y_=38,4$ при $x=4$.

Пример. Решить уравнение: $x^=24-x$. Решение. График функции $y=x^$ возрастает, а график функции $у=24-х$ убывает. Ребята, мы с вами знаем: если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас только одно решение. Заметим: $8^=\sqrt[3]=(\sqrt[3])^4=2^4=16$. $24-8=16$. То есть при $х=8$ мы получили верное равенство $16=16$, это и есть решение нашего уравнения. Ответ: $х=8$.

Пример. Построить график функции: $y=(x-3)^\frac+2$. Решение. График нашей функции получается из графика функции $y=x^$, смещением его на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх.

Пример. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^$ в точке $х=1$. Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. В нашем случае $a=1$. $f(a)=f(1)=1^=1$. Найдем производную: $y'=-\fracx^$. Вычислим: $f'(a)=-\frac*1^=-\frac$. Найдем уравнение касательной: $y=1-\frac(x-1)=-\fracx+1\frac$. Ответ: $y=-\fracx+1\frac$.

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^\frac$ на отрезке: а) $[1;8]$. б) $(4,50)$. в) на луче $[27;+∞)$. 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=\fracx^-x$ на отрезке $[1;27]$. 3. Решить уравнение: $x^=18-x$. 4. Построить график функции: $y=(x+1)^-1$. 5. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^$ в точке $х=1$.